Calculateur de factorisation par regroupement

Entrez le calcul

Coefficient a (ax)

Coefficient b (bx)

Facteur variable x

Facteur variable y

Saisissez les valeurs numériques de a, b, x, y pour évaluer ax + ay + bx + by = (a+b)(x+y).

Résultats

Forme factorisée (a+b)(x+y)

(5)(12)

equals 60

Valeur développée (ax+ay+bx+by)	60
(a + b)	5
(x + y)	12
Produit (a+b)(x+y)	60

Qu'est-ce que la factorisation par regroupement ?

La factorisation par regroupement est une technique d'algèbre qui permet de factoriser les expressions comportant quatre termes. Lorsqu'une expression a la forme \(\text{a}\text{x} + \text{a}\text{y} + \text{b}\text{x} + \text{b}\text{y}\), on peut regrouper les termes deux par deux, mettre en facteur le plus grand diviseur commun de chaque groupe, puis réécrire l'ensemble sous forme de produit de deux binômes : \(\left(\text{a} + \text{b}\right)\left(\text{x} + \text{y}\right)\). Ce calculateur évalue cette identité de façon numérique, ce qui vous permet de vérifier vos propres calculs.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez les valeurs numériques des quatre coefficients : a et b (les facteurs associés aux groupes de variables) ainsi que x et y. L'outil calcule la somme développée \(\text{a}\text{x} + \text{a}\text{y} + \text{b}\text{x} + \text{b}\text{y}\), les facteurs regroupés \(\left(\text{a} + \text{b}\right)\) et \(\left(\text{x} + \text{y}\right)\), puis leur produit. Comme l'identité est toujours vérifiée, la valeur développée et le produit factorisé coïncident systématiquement, ce qui confirme l'exactitude de la factorisation.

La formule expliquée

On part de \(\text{a}\text{x} + \text{a}\text{y} + \text{b}\text{x} + \text{b}\text{y}\). On regroupe les deux premiers termes et les deux derniers :

$$\left(\text{a}\text{x} + \text{a}\text{y}\right) + \left(\text{b}\text{x} + \text{b}\text{y}\right)$$

On factorise ensuite chaque groupe :

$$\text{a}\left(\text{x} + \text{y}\right) + \text{b}\left(\text{x} + \text{y}\right)$$

Les deux groupes partagent désormais le binôme commun \(\left(\text{x} + \text{y}\right)\), que l'on met en facteur pour obtenir \(\left(\text{a} + \text{b}\right)\left(\text{x} + \text{y}\right)\).

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Un modèle d'aire : un rectangle de côtés (a+b) et (x+y) se divise en quatre termes produits.

Regrouper les quatre termes par paires révèle les facteurs communs qui se combinent en (a+b)(x+y).

Exemple résolu

Prenons \(\text{a} = 2\), \(\text{b} = 3\), \(\text{x} = 5\), \(\text{y} = 7\). La valeur développée vaut

$$2\cdot 5 + 2\cdot 7 + 3\cdot 5 + 3\cdot 7 = 10 + 14 + 15 + 21 = 60.$$

La forme factorisée donne

$$\left(2 + 3\right)\left(5 + 7\right) = \left(5\right)\left(12\right) = 60.$$

Les deux membres sont égaux à \(60\), ce qui confirme l'identité.

FAQ

Quand peut-on factoriser par regroupement ? Lorsqu'une expression comporte quatre termes et qu'on peut les regrouper de sorte que chaque paire partage un facteur commun, faisant apparaître un binôme commun.

L'ordre du regroupement a-t-il une importance ? Non : on peut regrouper \(\left(\text{a}\text{x} + \text{b}\text{x}\right) + \left(\text{a}\text{y} + \text{b}\text{y}\right)\) et obtenir tout de même \(\left(\text{a} + \text{b}\right)\left(\text{x} + \text{y}\right)\).

Pourquoi le résultat ne ressemble-t-il pas toujours à une factorisation « propre » ? Cet outil travaille avec les valeurs numériques que vous saisissez. Pour une factorisation symbolique, on conserve les variables ; ici, nous vérifions l'égalité de façon numérique.