Qu'est-ce que le PGCD ?
Le plus grand commun diviseur (PGCD) est le plus grand entier positif qui divise deux nombres entiers sans laisser de reste. Dans les pays anglophones, on parle de greatest common factor (GCF), de greatest common divisor (GCD) ou encore de highest common factor (HCF) : il s'agit exactement de la même notion. Par exemple, le PGCD de 48 et de 36 vaut 12, car 12 est le plus grand nombre qui divise les deux à la fois. Ce calculateur détermine le PGCD en un instant et affiche également le plus petit commun multiple (PPCM).
Comment utiliser le calculateur
Saisissez deux nombres entiers positifs ou nuls dans les champs notés a et b, puis validez. L'outil vous renvoie le plus grand commun diviseur ainsi que le plus petit commun multiple. L'ordre n'a aucune importance : \(\text{PGCD}(48, 36) = \text{PGCD}(36, 48)\).
La formule expliquée
Ce calculateur s'appuie sur l'algorithme d'Euclide, une méthode élégante qui remonte à la Grèce antique. Elle repose sur le principe suivant : le PGCD de deux nombres divise aussi leur reste. On remplace successivement le couple \((a, b)\) par \((b, a \bmod b)\) jusqu'à ce que le second nombre devienne nul ; le premier nombre restant est alors le PGCD. Le PPCM se calcule ensuite avec l'identité $$\text{ppcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{pgcd}(a, b)}$$
Exemple résolu
Cherchons le PGCD de 48 et de 36. Étape 1 : \(48 \bmod 36 = 12\), le couple devient donc \((36, 12)\). Étape 2 : \(36 \bmod 12 = 0\), le couple devient \((12, 0)\). Comme la seconde valeur est nulle, le PGCD vaut 12. Le PPCM est égal à $$\frac{48 \times 36}{12} = \frac{1728}{12} = 144$$
Questions fréquentes
Quel est le PGCD si l'un des nombres est égal à 0 ? Par définition, \(\text{PGCD}(a, 0) = a\). Le PGCD de 0 et de 0 vaut 0.
Le PGCD est-il identique au HCF ? Oui. PGCD (en français), GCF, GCD et HCF (en anglais) désignent une seule et même valeur.
Que vaut le PGCD lorsque deux nombres n'ont aucun diviseur commun ? Il vaut 1 : on dit alors que les nombres sont premiers entre eux.
