ما هو القاسم المشترك الأكبر؟
القاسم المشترك الأكبر (GCF)، ويُعرف أيضًا بالعامل المشترك الأعظم (GCD) أو القاسم المشترك الأعلى (HCF)، هو أكبر عدد صحيح موجب يقسم عددين صحيحين دون أن يترك باقيًا. على سبيل المثال، القاسم المشترك الأكبر للعددين 48 و36 هو 12، لأن 12 هو أكبر عدد يقسم كليهما قسمة تامة. تعطيك هذه الحاسبة القاسم المشترك الأكبر في لحظة، كما تعرض لك المضاعف المشترك الأصغر (LCM).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل عددين صحيحين غير سالبين في الحقلين المعلَّمين بـ a وb، ثم اضغط على زر الحساب. تعرض لك الأداة القاسم المشترك الأكبر إلى جانب المضاعف المشترك الأصغر. ولا يهم ترتيب العددين، فالقاسم المشترك الأكبر للعددين (48، 36) يساوي القاسم المشترك الأكبر للعددين (36، 48).
شرح المعادلة
تعتمد هذه الحاسبة على خوارزمية إقليدس، وهي طريقة أنيقة يعود تاريخها إلى اليونان القديمة. وتقوم فكرتها على أن القاسم المشترك الأكبر لعددين يقسم أيضًا باقي قسمتهما. فتستبدل الزوج \((a, b)\) بالزوج \((b,\ a \bmod b)\) مرارًا حتى يصبح العدد الثاني صفرًا؛ فيكون العدد الأول المتبقي هو القاسم المشترك الأكبر. ثم يُحسب المضاعف المشترك الأصغر بالعلاقة:
$$\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\operatorname{gcf}(a, b)}$$
مثال محلول
أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 48 و36. الخطوة الأولى: \(48 \bmod 36 = 12\)، فيصبح الزوج (36، 12). الخطوة الثانية: \(36 \bmod 12 = 0\)، فيصبح الزوج (12، 0). وبما أن القيمة الثانية صارت صفرًا، فإن القاسم المشترك الأكبر هو 12. أما المضاعف المشترك الأصغر فهو
$$\frac{48 \times 36}{12} = \frac{1728}{12} = 144$$الأسئلة الشائعة
ما القاسم المشترك الأكبر إذا كان أحد العددين صفرًا؟ بحكم التعريف، \(\text{GCF}(a, 0) = a\). أما القاسم المشترك الأكبر للعددين 0 و0 فهو 0.
هل القاسم المشترك الأكبر (GCF) هو نفسه القاسم المشترك الأعلى (HCF)؟ نعم. فكلٌّ من GCF وGCD وHCF أسماء مختلفة لقيمة واحدة.
عندما لا يكون للعددين أي عوامل مشتركة، فما القاسم المشترك الأكبر؟ يكون مساويًا 1، ويُقال عندئذٍ إن العددين أوليان فيما بينهما (متباينان أوليًّا).
