最大公約数とは？
最大公約数（GCD：Greatest Common Divisor、英語ではGCFやHCFとも呼ばれます）とは、2つの整数を割り切れる最大の正の整数のことです。たとえば、48と36の最大公約数は12です。これは、両方をきれいに割り切れる数の中で12が一番大きいからです。この計算ツールを使えば、最大公約数を瞬時に求められるほか、最小公倍数（LCM）も同時に確認できます。
使い方
\(a\)と\(b\)の欄に、0以上の整数を1つずつ入力して計算ボタンを押すだけです。最大公約数と最小公倍数がすぐに表示されます。入力する順番は結果に影響しません。たとえば\(\gcd(48, 36)\)と\(\gcd(36, 48)\)はどちらも同じ答えになります。
計算のしくみ
このツールは「ユークリッドの互除法」を採用しています。これは古代ギリシャにまでさかのぼる、シンプルかつ美しいアルゴリズムです。「2つの数の最大公約数は、その余りも割り切れる」という性質を利用します。具体的には、\((a, b)\) のペアを \((b,\, a \bmod b)\) に置き換える操作を、2番目の数が0になるまで繰り返します。最後に残った1番目の数が最大公約数です。最小公倍数は、$$\text{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}$$ という公式で求められます。
計算例
48と36の最大公約数を求めてみましょう。ステップ1：\(48 \bmod 36 = 12\) なので、ペアは \((36, 12)\) になります。ステップ2：\(36 \bmod 12 = 0\) なので、ペアは \((12, 0)\) になります。2番目の値が0になったので、最大公約数は12です。最小公倍数は$$\frac{48 \times 36}{12} = \frac{1728}{12} = 144$$ となります。
よくある質問
一方の数が0のとき、最大公約数はいくつですか？ 定義により、\(\gcd(a, 0) = a\) となります。なお、0と0の最大公約数は0です。
GCDとGCF、HCFは同じものですか？ はい、同じです。GCD・GCF・HCFはすべて同じ値を指す、呼び方の違いにすぎません。
2つの数に共通の約数がない場合、最大公約数はいくつですか？ その場合は1になります。このような2つの数は「互いに素」と呼ばれます。
