묶음 인수분해란?
묶음 인수분해(factoring by grouping)는 항이 네 개인 식을 인수분해할 때 쓰는 대수 기법입니다. 식이 \(\text{a}\text{x} + \text{a}\text{y} + \text{b}\text{x} + \text{b}\text{y}\) 형태일 때 항을 두 개씩 묶고, 각 묶음에서 최대공약인수를 빼낸 뒤, 식 전체를 두 일차식의 곱 \(\left(\text{a} + \text{b}\right)\left(\text{x} + \text{y}\right)\)로 다시 쓸 수 있습니다. 이 계산기는 해당 항등식을 수치로 계산해 주므로 직접 푼 인수분해가 맞는지 검산하는 데 활용할 수 있습니다.
계산기 사용법
네 개의 계수에 숫자 값을 입력하세요. a와 b(변수 묶음과 짝을 이루는 인수), 그리고 x와 y입니다. 계산기는 전개식 \(\text{a}\text{x} + \text{a}\text{y} + \text{b}\text{x} + \text{b}\text{y}\)의 합, 묶음 인수 \(\left(\text{a} + \text{b}\right)\)와 \(\left(\text{x} + \text{y}\right)\), 그리고 두 인수의 곱을 구해 줍니다. 항등식은 항상 성립하므로 전개식 값과 인수분해한 곱은 서로 일치하며, 이를 통해 인수분해가 정확함을 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
먼저 \(\text{a}\text{x} + \text{a}\text{y} + \text{b}\text{x} + \text{b}\text{y}\)에서 시작합니다. 앞의 두 항과 뒤의 두 항을 각각 묶습니다: \(\left(\text{a}\text{x} + \text{a}\text{y}\right) + \left(\text{b}\text{x} + \text{b}\text{y}\right)\). 각 묶음을 인수분해하면 \(\text{a}\left(\text{x} + \text{y}\right) + \text{b}\left(\text{x} + \text{y}\right)\)가 됩니다. 이제 두 묶음이 공통 일차식 \(\left(\text{x} + \text{y}\right)\)를 가지므로, 이를 묶어 빼내면 \(\left(\text{a} + \text{b}\right)\left(\text{x} + \text{y}\right)\)를 얻습니다.
예제 풀이
\(\text{a} = 2\), \(\text{b} = 3\), \(\text{x} = 5\), \(\text{y} = 7\)이라고 해 봅시다. 전개식 값은 $$2\cdot 5 + 2\cdot 7 + 3\cdot 5 + 3\cdot 7 = 10 + 14 + 15 + 21 = 60$$입니다. 인수분해한 형태는 $$\left(2 + 3\right)\left(5 + 7\right) = \left(5\right)\left(12\right) = 60$$입니다. 양변이 모두 60으로 같으므로 항등식이 성립함을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
언제 묶음 인수분해를 쓸 수 있나요? 식의 항이 네 개이고, 각 묶음이 공통 인수를 가지도록 묶을 수 있어서 공통 일차식이 남을 때 사용할 수 있습니다.
묶는 순서가 결과에 영향을 주나요? 아니요. \(\left(\text{a}\text{x} + \text{b}\text{x}\right) + \left(\text{a}\text{y} + \text{b}\text{y}\right)\)로 묶어도 결국 \(\left(\text{a} + \text{b}\right)\left(\text{x} + \text{y}\right)\)에 도달합니다.
왜 항상 깔끔한 인수분해 형태로 보이지 않나요? 이 계산기는 입력한 숫자 값으로 계산합니다. 문자식 그대로 인수분해할 때는 변수를 유지하지만, 여기서는 등식이 성립하는지 수치로 검산하는 것입니다.
