¿Qué es una asíntota horizontal?
Una asíntota horizontal es una recta horizontal a la que se acerca la gráfica de una función cuando x tiende a más o menos infinito. En el caso de una función racional \(f(x) = P(x) / Q(x)\), la asíntota depende únicamente de los grados y de los coeficientes principales de los polinomios del numerador y del denominador, y no de los términos de orden inferior.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el coeficiente principal y el grado del polinomio del numerador (la parte de arriba) y, a continuación, el coeficiente principal y el grado del polinomio del denominador (la parte de abajo). La calculadora compara ambos grados y te devuelve al instante la asíntota horizontal correcta.
La regla, paso a paso
Se distinguen tres casos. Si el grado del numerador es menor que el del denominador, la función tiende a cero, por lo que la asíntota es \(y = 0\). Si los dos grados son iguales, la asíntota es el cociente de los coeficientes principales, \(y = a/b\). Y si el grado del numerador es mayor, la función crece sin límite y no existe asíntota horizontal (aunque sí puede haber una asíntota oblicua o polinómica).
$$y = \begin{cases} 0 & \text{Num Deg} < \text{Den Deg} \\[0.6em] \dfrac{\text{Num Coef}}{\text{Den Coef}} & \text{Num Deg} = \text{Den Deg} \\[0.6em] \text{none} & \text{Num Deg} > \text{Den Deg} \end{cases}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(f(x) = (2x^2 + 3) / (4x^2 - 1)\). Ambos polinomios tienen grado 2, así que los grados son iguales. La asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales: $$y = \frac{2}{4} = 0{,}5.$$ A medida que x se hace muy grande, el +3 y el -1 dejan de ser relevantes y la curva se aproxima cada vez más a la recta \(y = 0{,}5\).
Preguntas frecuentes
¿Puede una gráfica cruzar su asíntota horizontal? Sí. A diferencia de las asíntotas verticales, una curva sí puede cruzar una asíntota horizontal para valores finitos de x; la recta solo describe el comportamiento de la función en los extremos.
¿Qué ocurre cuando el grado de arriba es mayor? No hay asíntota horizontal. Si el grado del numerador supera exactamente en uno al del denominador, la función tiene en su lugar una asíntota oblicua (inclinada).
¿Influyen los términos constantes? No. Solo los términos de mayor grado determinan la asíntota horizontal.
