Calculateur du test binomial exact (valeur p)

Probabilité du nombre observé	0,043945
Expected successes (n × p)	5
One-sided lower P(X ≤ k)	0,989258
One-sided upper P(X ≥ k)	0,054688

Qu'est-ce que le test binomial exact ?

Le test binomial exact permet de vérifier si le nombre de succès observés au cours d'une série fixe d'essais indépendants de type oui/non est compatible avec une probabilité de succès supposée. Contrairement à l'approximation normale, il calcule la valeur p directement à partir de la loi binomiale : il reste donc précis, même sur de petits échantillons. Cet outil est universel et s'applique à toute expérience binaire : lancers de pièce, taux de conversion, comptage de défauts ou données de type réussite/échec.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez le nombre de succès k, le nombre total d'essais n et la probabilité de succès supposée p (comprise entre 0 et 1). Le calculateur renvoie la valeur p bilatérale, la probabilité du nombre observé, le nombre de succès attendu, ainsi que les deux valeurs p unilatérales.

La formule expliquée

Chaque résultat x a une probabilité $P(X=x) = \binom{n}{x}\, p^{\,x}\,(1-p)^{n-x}$. La valeur p bilatérale additionne les probabilités de tous les résultats aussi peu probables, ou moins probables, que celui réellement observé ($P(x) \le P(k)$). La valeur p unilatérale inférieure correspond à $P(X \le k)$ et la valeur supérieure à $P(X \ge k)$.

$$P(X = x) = \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$$$p\text{-value} = \sum_{x:\,P(X=x)\,\le\,P(X=k)} P(X = x)$$

Diagramme en barres d'une loi binomiale avec les barres de queue ombrées pour montrer la région de la valeur p bilatérale — La valeur p bilatérale additionne les probabilités de tous les résultats au moins aussi improbables que le décompte observé k.

Exemple concret

Supposons que vous lanciez une pièce 10 fois et que vous obteniez 8 fois pile, afin de tester si la pièce est équilibrée ($p = 0{,}5$). La probabilité d'obtenir exactement 8 fois pile est $$\binom{10}{8}\cdot 0{,}5^{10} = \frac{45}{1024} \approx 0{,}043945.$$ Par symétrie, les résultats tout aussi probables ou moins probables sont 0, 1, 2, 8, 9 et 10 piles. Leur probabilité totale s'élève à $$2\cdot\frac{1+10+45}{1024} = \frac{112}{1024} \approx 0{,}109375,$$ ce qui constitue la valeur p bilatérale. Comme elle dépasse 0,05, on ne rejette pas l'hypothèse selon laquelle la pièce est équilibrée.

Rangée de cercles pleins et vides représentant k succès sur n essais — Un test binomial compare le nombre de succès observés k sur n essais à une probabilité hypothétique.

Interpréter votre résultat

Le test binomial exact compare un nombre observé de succès $k$ dans $n$ essais indépendants par rapport à une probabilité de succès hypothétisée $p$. La p-valeur répond à une seule question : si l'hypothèse nulle était vraie, quelle est la probabilité d'obtenir un résultat au moins aussi extrême que celui que vous avez observé ?

Bilatéral vs unilatéral

Une p-valeur bilatérale teste si la vraie probabilité diffère de $p$ dans l'une ou l'autre direction. Elle additionne les probabilités de tous les résultats dont la probabilité est inférieure ou égale à celle du $k$ observé (la méthode utilisée par ce calculateur et par la fonction binom.test de R). Utilisez-la quand vous n'avez aucune raison préalable de vous attendre à un résultat élevé ou faible.

Une p-valeur unilatérale teste une affirmation directionnelle — par exemple « la vraie probabilité est supérieure à $p$ ». Elle additionne les probabilités uniquement dans la queue que vous avez spécifiée. Une p-valeur unilatérale est à peu près la moitié de la valeur bilatérale, donc choisissez la direction avant de voir les données, jamais après.

Le seuil de signification (alpha)

Le seuil $\alpha$ est le taux de faux positifs que vous êtes prêt à tolérer. Les choix courants sont $\alpha = 0,05$ et le plus strict $\alpha = 0,01$. Vous comparez la p-valeur à $\alpha$ :

Si p-valeur $\le \alpha$ : rejeter l'hypothèse nulle — les données sont suffisamment incompatibles avec $p$ pour être appelées statistiquement significatives.
Si p-valeur $> \alpha$ : ne pas rejeter l'hypothèse nulle — les données sont compatibles avec $p$.

Ce que « ne pas rejeter » signifie et ne signifie pas

« Ne pas rejeter » signifie seulement que vous manquez de preuves suffisantes contre l'hypothèse nulle. Cela ne prouve pas que l'hypothèse nulle est vraie. Un petit échantillon peut facilement produire un résultat non significatif même si la vraie probabilité diffère de $p$ ; l'absence de preuve n'est pas une preuve d'absence. Pour évaluer ce que les données supportent réellement, associez le test à une estimation d'effet et à un intervalle de confiance pour la proportion.

Définitions et glossaire

Succès (k): Le nombre observé d'essais avec le résultat d'intérêt. Un nombre entier avec $0 \le k \le n$.
Essais (n): Le nombre total d'essais de Bernoulli indépendants, chacun ayant la même probabilité de succès.
Probabilité hypothétisée (p): La probabilité de succès supposée sous l'hypothèse nulle, $0 \le p \le 1$. L'équité d'une pièce de monnaie, par exemple, correspond à $p = 0,5$.
Hypothèse nulle (H₀): L'affirmation par défaut testée : la vraie probabilité de succès est égale à $p$, c'est-à-dire $H_0:\, \pi = p$.
Hypothèse alternative (H₁): L'affirmation acceptée si H₀ est rejetée : $\pi \ne p$ (bilatéral), ou $\pi > p$ / $\pi < p$ (unilatéral).
p-valeur: La probabilité, calculée sous H₀, d'obtenir un résultat au moins aussi extrême que le $k$ observé. Les valeurs plus petites donnent une preuve plus forte contre H₀.
Test bilatéral: Détecte une différence par rapport à $p$ dans l'une ou l'autre direction en additionnant tous les résultats ayant une probabilité au plus égale à celle observée.
Test unilatéral: Détecte une différence dans une seule direction pré-spécifiée.
Nombre attendu (np): Le nombre de succès attendu sous H₀, $np$. Comparer $k$ à $np$ montre la direction et la taille approximative de l'écart.
Seuil de signification (alpha): Le seuil pré-choisi $\alpha$ (communément 0,05 ou 0,01) par rapport auquel la p-valeur est jugée ; c'est la probabilité maximale acceptable d'une erreur de type I.

FAQ

Quand faut-il préférer le test exact à un test z ? Utilisez le test binomial exact dès que n est petit ou que les effectifs attendus sont faibles, car l'approximation normale devient alors peu fiable.

Que signifie une faible valeur p ? Une faible valeur p (par exemple inférieure à 0,05) indique que le nombre observé est peu probable sous la probabilité supposée, ce qui constitue un argument contre cette hypothèse.

Pourquoi la valeur p bilatérale peut-elle différer du double de la valeur unilatérale ? Le test bilatéral exact additionne les probabilités de tous les résultats au moins aussi extrêmes en termes de probabilité, ce qui ne correspond pas toujours au double de la plus petite queue lorsque la distribution est asymétrique.