Qu'est-ce qu'un test Z pour une proportion ?
Le test Z pour une proportion permet de vérifier si une proportion observée dans un échantillon (\(\hat{p}\)) diffère de manière significative d'une proportion de référence connue ou supposée dans la population (\(p_0\)). On l'utilise très fréquemment dans les sondages, le contrôle qualité, les tests A/B et les études médicales, dès lors que l'on mesure un résultat binaire (oui/non) et que l'on souhaite savoir si le taux observé est cohérent avec un taux annoncé.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez le nombre de succès (\(x\)), la taille totale de l'échantillon (\(n\)) et la proportion théorique (\(p_0\)), comprise entre 0 et 1. Choisissez ensuite votre hypothèse alternative : bilatérale, unilatérale à gauche ou unilatérale à droite. Le calculateur affiche la proportion de l'échantillon, l'erreur type, la statistique Z ainsi que la p-value correspondante. Comparez cette p-value à votre seuil de signification (généralement 0,05) : si elle est inférieure, vous rejetez l'hypothèse nulle.
La formule expliquée
L'erreur type est calculée sous l'hypothèse nulle par \(\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}\). La statistique Z mesure l'écart entre la proportion de l'échantillon et \(p_0\), exprimé en nombre d'erreurs types :
$$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$La p-value est obtenue à partir de la loi normale centrée réduite. Ce test suppose que la distribution d'échantillonnage est approximativement normale, condition vérifiée lorsque \(n \cdot p_0 \geq 10\) et \(n \cdot (1-p_0) \geq 10\).
Exemple concret
Imaginons que 45 personnes sur 100 préfèrent un nouveau produit, et que l'on souhaite tester l'hypothèse \(p_0 = 0{,}5\). On a alors \(\hat{p} = 0{,}45\),
$$SE = \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100}} = 0{,}05$$$$z = \frac{0{,}45 - 0{,}5}{0{,}05} = -1{,}0$$La p-value bilatérale vaut environ 0,317 : il n'y a donc aucune différence significative par rapport à 50 %.
FAQ
Quand utiliser un test Z plutôt qu'un test t ? Pour les proportions avec un échantillon suffisamment grand, le test Z est la norme ; le test t s'applique aux moyennes lorsque la variance est inconnue.
Quelle taille d'échantillon est suffisante ? Une règle courante exige au moins 10 succès attendus et 10 échecs attendus (\(n \cdot p_0 \geq 10\) et \(n \cdot (1-p_0) \geq 10\)).
Que signifie une p-value faible ? Elle indique que la proportion observée serait peu probable si la vraie proportion était égale à \(p_0\), ce qui constitue une preuve permettant de rejeter l'hypothèse nulle.
