Калькулятор z-теста для одной доли

Введите расчет

Число успехов (x)

Объём выборки (n)

Гипотетическая доля (p₀)

Альтернативная гипотеза Двусторонняя (p ≠ p₀) Left-tailed (p < p₀) Right-tailed (p > p₀)

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. One-Proportion Z-Statistic

   

   p-hat = x / n is the sample proportion; p0 is the hypothesized proportion; standard error = sqrt(p0(1-p0)/n)

Результатов

Z-статистика

-1

z-значение стандартного нормального распределения

Выборочная доля (p̂)	0,45
Стандартная ошибка	0,05
P-значение	0,317311

Что такое z-тест для одной доли?

Z-тест для одной доли проверяет, значимо ли выборочная доля (\(\hat{p}\)) отличается от известной или предполагаемой доли в генеральной совокупности (\(p_0\)). Этот метод широко применяют в опросах, контроле качества, A/B-тестировании и медицинских исследованиях — везде, где результат измеряется по принципу «да/нет», а вам нужно понять, согласуется ли наблюдаемая частота с заявленным значением.

Тест измеряет, насколько наблюдаемая доля \(\hat{p}\) отстоит от гипотетического значения \(p_0\).

Как пользоваться калькулятором

Укажите число успехов (\(x\)), общий объём выборки (\(n\)) и гипотетическую долю (\(p_0\)) в диапазоне от 0 до 1. Выберите альтернативную гипотезу — двустороннюю, левостороннюю или правостороннюю. Калькулятор рассчитает выборочную долю, стандартную ошибку, z-статистику и соответствующее p-значение. Сравните p-значение с выбранным уровнем значимости (обычно 0,05): если оно меньше, нулевая гипотеза отклоняется.

Разбор формулы

Стандартная ошибка вычисляется при условии справедливости нулевой гипотезы как \(\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}\). Z-статистика — это расстояние между выборочной долей и \(p_0\), измеренное в стандартных ошибках:

$$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$

P-значение определяется по стандартному нормальному распределению. Тест предполагает, что выборочное распределение приближённо нормально, а это выполняется при \(n \cdot p_0 \geq 10\) и \(n \cdot (1-p_0) \geq 10\).

Реклама

z-статистика помещает выборочный результат на стандартную нормальную кривую; заштрихованный хвост — это p-значение.

Пример расчёта

Допустим, новый продукт предпочли 45 человек из 100, и вы хотите проверить гипотезу при \(p_0 = 0{,}5\). Тогда \(\hat{p} = 0{,}45\),

$$SE = \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100}} = 0{,}05$$$$z = \frac{0{,}45 - 0{,}5}{0{,}05} = -1{,}0$$

Двустороннее p-значение составляет около 0,317, то есть значимого отличия от 50 % нет.

Частые вопросы

Когда выбирать z-тест, а когда t-тест? Для долей при достаточно большой выборке стандартом считается z-тест; t-тест применяют для средних значений при неизвестной дисперсии.

Какой объём выборки считается достаточным? Распространённое правило — не менее 10 ожидаемых успехов и 10 ожидаемых неудач (\(n \cdot p_0 \geq 10\) и \(n \cdot (1-p_0) \geq 10\)).

Что означает малое p-значение? Оно говорит о том, что наблюдаемая доля была бы маловероятна, если бы истинная доля равнялась \(p_0\), — это аргумент в пользу отклонения нулевой гипотезы.