单比例 Z 检验计算器

输入计算

数学公式

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One-Proportion Z-Statistic

p-hat = x / n is the sample proportion; p0 is the hypothesized proportion; standard error = sqrt(p0(1-p0)/n)

结果

检验统计量（z）

-1

标准正态 z 分数

什么是单比例 Z 检验？

单比例 Z 检验用于判断样本比例（$\hat{p}$）与某个已知或假设的总体比例（$p_0$）之间是否存在显著差异。无论是在问卷调查、质量管控、A/B 测试，还是医学研究中，只要你统计的是"是/否"这类二分类结果，并想验证观测到的比率与某个声称的比率是否一致，都可以用到它。

填入成功次数（$x$）、样本总量（$n$），以及介于 0 到 1 之间的假设比例（$p_0$）。再选择备择假设的类型——双侧、左侧或右侧。计算器会给出样本比例、标准误、z 检验统计量以及对应的 p 值。将 p 值与你设定的显著性水平（常用 0.05）做对比：若 p 值更小，则拒绝原假设。

标准误是在原假设成立的前提下计算的，公式为 $\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}$。z 统计量衡量的是样本比例与 $p_0$ 之间相差了多少个标准误：

$$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$

p 值则取自标准正态分布。该检验假设抽样分布近似服从正态分布——当 $n \cdot p_0 \geq 10$ 且 $n \cdot (1-p_0) \geq 10$ 时，这一条件通常成立。

假设 100 人中有 45 人偏好某款新产品，你想以 $p_0 = 0.5$ 为基准进行检验。那么 $\hat{p} = 0.45$，

$$SE = \sqrt{\frac{0.5 \cdot 0.5}{100}} = 0.05$$$$z = \frac{0.45 - 0.5}{0.05} = -1.0$$

双侧 p 值约为 0.317，因此与 50% 相比并无显著差异。

什么时候用 z 检验而不是 t 检验？对于样本量足够大的比例检验，z 检验是标准做法；而 t 检验适用于方差未知时对均值的检验。

样本量多大才算足够？常用的经验法则是预期成功次数和预期失败次数都至少达到 10（即 $n \cdot p_0 \geq 10$ 且 $n \cdot (1-p_0) \geq 10$）。

p 值很小说明什么？它表明：如果真实比例确实等于 $p_0$，那么观测到当前这一比例的可能性极低，这为拒绝原假设提供了证据。