ما هو اختبار Z لنسبة واحدة؟
يتحقق اختبار Z لنسبة واحدة مما إذا كانت نسبة العينة (\(\hat{p}\)) تختلف اختلافًا جوهريًا عن نسبة معروفة أو مفترضة للمجتمع الإحصائي (\(p_0\)). ويُستخدم على نطاق واسع في الاستبيانات ومراقبة الجودة واختبارات A/B والدراسات الطبية، في كل حالة تقيس فيها نتيجة من نوع نعم/لا وترغب في معرفة ما إذا كانت النسبة المرصودة متوافقة مع نسبة مُدّعاة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل عدد النجاحات (\(x\))، وإجمالي حجم العينة (\(n\))، والنسبة المفترضة (\(p_0\)) بقيمة بين 0 و1. ثم اختر الفرضية البديلة — ثنائية الذيل، أو يسارية الذيل، أو يمينية الذيل. تُعيد الحاسبة نسبة العينة، والخطأ المعياري، وإحصائية الاختبار \(z\)، والقيمة الاحتمالية المقابلة. قارن القيمة الاحتمالية بمستوى الدلالة الذي اخترته (عادةً 0.05): إذا كانت أصغر منه، فإنك ترفض الفرضية الصفرية.
شرح الصيغة الرياضية
يُحسب الخطأ المعياري في ظل الفرضية الصفرية على النحو \(\sqrt{p_0(1-p_0)/n}\). أما إحصائية \(z\) فهي المسافة بين نسبة العينة و \(p_0\) مقيسةً بوحدات الخطأ المعياري:
$$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$وتُستمَد القيمة الاحتمالية من التوزيع الطبيعي المعياري. يفترض هذا الاختبار أن توزيع المعاينة قريب من التوزيع الطبيعي، وهو ما يتحقق عندما يكون \(n\cdot p_0 \ge 10\) و \(n\cdot(1-p_0) \ge 10\).
مثال تطبيقي محلول
لنفترض أن 45 شخصًا من أصل 100 يفضّلون منتجًا جديدًا، وتريد اختبار ذلك مقابل \(p_0 = 0.5\). عندئذٍ تكون \(\hat{p} = 0.45\)، و \(\text{SE} = \sqrt{0.5\cdot 0.5/100} = 0.05\)، و \(z = (0.45 - 0.5) / 0.05 = -1.0\). وتبلغ القيمة الاحتمالية ثنائية الذيل نحو 0.317، أي أنه لا يوجد فرق جوهري عن نسبة 50%.
الأسئلة الشائعة
متى أستخدم اختبار z بدلًا من اختبار t؟ بالنسبة للنسب مع عينة كبيرة بما يكفي، يكون اختبار z هو الخيار المعياري؛ أما اختبار t فهو مخصص للمتوسطات عندما يكون التباين مجهولًا.
ما هو حجم العينة الكافي؟ القاعدة الشائعة هي توفّر ما لا يقل عن 10 نجاحات متوقعة و10 إخفاقات متوقعة (\(n\cdot p_0 \ge 10\) و \(n\cdot(1-p_0) \ge 10\)).
ماذا تعني القيمة الاحتمالية الصغيرة؟ تشير إلى أن النسبة المرصودة كانت ستكون غير محتملة لو أن النسبة الحقيقية تساوي \(p_0\)، مما يقدّم دليلًا على رفض الفرضية الصفرية.
