什麼是單比例 Z 檢定？
單比例 z 檢定用來判斷樣本比例（\(\hat{p}\)）是否與已知或假設的母體比例（\(p_0\)）有顯著差異。舉凡問卷調查、品質管制、A/B 測試與醫學研究，只要你測量的是「是／否」這類二元結果，並想知道觀察到的比率是否與宣稱的比率一致，都會用到這個檢定。
如何使用本計算器
請輸入成功次數（\(x\)）、樣本總數（\(n\)），以及介於 0 與 1 之間的假設比例（\(p_0\)）。接著選擇你的對立假設——雙尾、左尾或右尾。計算器會回傳樣本比例、標準誤、z 檢定統計量與對應的 p 值。將 p 值與你設定的顯著水準（常用 0.05）相比：若 p 值較小，就拒絕虛無假設。
公式說明
標準誤是在虛無假設下計算，公式為 \(\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}\)。z 統計量則是樣本比例與 \(p_0\) 之間的差距，以標準誤為單位來衡量：
$$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$p 值由標準常態分配求得。本檢定假設抽樣分配近似常態，當 \(n \cdot p_0 \ge 10\) 且 \(n \cdot (1-p_0) \ge 10\) 時，這項假設大致成立。
實例演算
假設 100 人中有 45 人偏好某項新產品，而你想針對 \(p_0 = 0.5\) 進行檢定。此時 \(\hat{p} = 0.45\)，\(SE = \sqrt{0.5 \cdot 0.5 / 100} = 0.05\)，\(z = (0.45 - 0.5) / 0.05 = -1.0\)。雙尾 p 值約為 0.317，因此與 50% 之間並無顯著差異。
常見問題
什麼時候該用 z 檢定而不是 t 檢定？當樣本數夠大、檢定對象為比例時，z 檢定是標準做法；t 檢定則適用於變異數未知的平均數檢定。
樣本數要多大才算足夠？常見的經驗法則是預期成功與預期失敗各至少 10 次（即 \(n \cdot p_0 \ge 10\) 且 \(n \cdot (1-p_0) \ge 10\)）。
p 值很小代表什麼？代表若真實比例真的等於 \(p_0\)，觀察到目前這個比例的機率很低，因此提供了拒絕虛無假設的證據。
