這個計算器的功能
單樣本 z 檢定用來判斷一組樣本的平均數，是否與已知（或假設）的母體平均數有顯著差異。當母體標準差（sigma，\(\sigma\)）為已知時，這正是最適合採用的檢定方法。本工具會輸出檢定統計量 \(z\)、標準誤、在你所設定顯著水準下的臨界 \(z\) 值、\(p\) 值，並清楚告訴你這個差異是否具有統計顯著性。
使用方式
先以百分比輸入顯著水準 alpha（填 5 代表 0.05）。接著選擇雙尾檢定（樣本平均數可能偏高或偏低皆納入考量）或單尾檢定（只關心單一方向的差異）。然後輸入假設的母體平均數（mu0，\(\mu_0\)）、已知的母體標準差（sigma，\(\sigma\)）、觀察到的樣本平均數（\(\bar{x}\)）以及樣本數（\(n\)）。點擊計算即可取得完整結果。
公式說明
標準誤為 \(SE = \sigma / \sqrt{n}\)。檢定統計量為 $$ z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{SE} $$ 臨界值來自標準常態分布的反累積分布函數：雙尾檢定為 \(z_{crit} = \Phi^{-1}(1 - \alpha/2)\)；單尾檢定為 \(z_{crit} = \Phi^{-1}(1 - \alpha)\)。p 值在雙尾時為 \(2(1 - \Phi(|z|))\)，單尾時為 \(1 - \Phi(|z|)\)，其中 \(\Phi\) 是標準常態累積分布函數。當 \(|z|\) 大於 \(z_{crit}\) 時（也就是 \(p\) 小於 alpha 時），結果即達顯著，應拒絕虛無假設 \(H_0: \bar{x} = \mu_0\)。
實例演算
設 \(\mu_0 = 58\)、\(\sigma = 4.5\)、\(\bar{x} = 60\)、\(n = 25\)，採雙尾檢定且 \(\alpha = 5\%\)： $$ SE = \frac{4.5}{\sqrt{25}} = 0.9 $$ $$ z = \frac{60 - 58}{0.9} = 2.2222 $$ 雙尾臨界值 \(\Phi^{-1}(0.975) = 1.95996\)。由於 \(2.2222 > 1.95996\)，差異達顯著。p 值為 \(2(1 - \Phi(2.2222)) = 0.0263\)，小於 0.05，進一步確認此結論。
常見問題
什麼時候該改用 t 檢定？當只知道樣本標準差、母體 sigma 未知時，就應該採用 t 檢定，尤其是小樣本的情況；它使用自由度為 \(n-1\) 的 Student t 分布。
p 值代表什麼？它是指：若 \(H_0\) 為真，觀察到至少和你目前同樣極端（或更極端）偏差的機率。p 值愈小（小於 alpha），代表這個差異純屬偶然的可能性愈低。
該選雙尾還是單尾？除非你事先就有充分理由只檢測單一方向，否則建議使用雙尾檢定。單尾檢定的檢定力較高，但只能偵測你所選定方向上的偏差。
