이 계산기의 기능
단일표본 z검정은 표본의 평균이 이미 알려져 있거나 가정된 모평균과 통계적으로 유의하게 다른지를 확인하는 검정입니다. 모집단의 표준편차(시그마, \(\sigma\))를 알고 있을 때 사용하는 것이 적절합니다. 이 도구는 검정통계량 \(z\), 표준오차, 선택한 유의수준에서의 임계 \(z\)값, \(p\)값, 그리고 그 차이가 통계적으로 유의한지에 대한 명확한 결론까지 제공합니다.
사용 방법
유의수준 알파(\(\alpha\))를 백분율로 입력하세요(5를 입력하면 0.05를 의미합니다). 양측 검정(표본평균이 더 클 수도, 더 작을 수도 있는 경우)과 단측 검정(한 방향만 관심 있는 경우) 중 하나를 선택합니다. 그런 다음 가정된 모평균(\(\mu_0\)), 알려진 모집단 표준편차(\(\sigma\)), 관측된 표본평균(\(\bar{x}\)), 표본 크기(\(n\))를 입력합니다. 계산 버튼을 누르면 전체 결과가 나타납니다.
공식 풀이
표준오차는 다음과 같습니다.
$$\text{SE} = \sigma / \sqrt{n}$$검정통계량은 다음과 같이 구합니다.
$$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\text{SE}}$$임계값은 표준정규분포의 역누적분포함수에서 얻습니다. 양측 검정에서는 \(z_{crit} = \Phi^{-1}(1 - \alpha/2)\), 단측 검정에서는 \(z_{crit} = \Phi^{-1}(1 - \alpha)\) 입니다. \(p\)값은 양측 검정의 경우 \(2(1 - \Phi(|z|))\), 단측 검정의 경우 \(1 - \Phi(|z|)\) 이며, 여기서 \(\Phi\)는 표준정규 누적분포함수입니다. \(|z|\)가 \(z_{crit}\)를 초과할 때, 즉 \(p\)값이 \(\alpha\)보다 작을 때 결과는 유의하며 귀무가설(\(H_0: \bar{x} = \mu_0\))을 기각합니다.
계산 예시
\(\mu_0 = 58\), \(\sigma = 4.5\), \(\bar{x} = 60\), \(n = 25\) 이고 유의수준 \(\alpha = 5\%\)의 양측 검정인 경우를 살펴봅시다.
$$\text{SE} = 4.5 / \sqrt{25} = 0.9$$$$z = (60 - 58) / 0.9 = 2.2222$$양측 임계값은 \(\Phi^{-1}(0.975) = 1.95996\) 입니다. \(2.2222 > 1.95996\) 이므로 차이는 유의합니다. \(p\)값은 \(2(1 - \Phi(2.2222)) = 0.0263\) 으로 0.05보다 작아 결과를 다시 한 번 확인해 줍니다.
자주 묻는 질문
t검정은 언제 사용해야 하나요? 모집단 표준편차(\(\sigma\))를 모르고 표본 표준편차만 알고 있을 때, 특히 표본 크기가 작을 때는 t검정을 사용합니다. t검정은 자유도 \(n-1\)을 갖는 스튜던트 t분포를 이용합니다.
p값은 무엇을 의미하나요? \(p\)값은 귀무가설(\(H_0\))이 참이라는 가정 하에서, 관측된 것만큼 또는 그보다 더 극단적인 편차가 나타날 확률입니다. \(p\)값이 작으면(\(\alpha\)보다 작으면) 그 차이가 우연으로 발생했을 가능성이 낮다는 것을 시사합니다.
양측 검정과 단측 검정, 어느 쪽을 써야 하나요? 특정 한 방향만 검정할 강력한 사전 근거가 없다면 양측 검정을 사용하세요. 단측 검정은 검정력이 더 높지만 선택한 방향의 편차만 감지할 수 있습니다.
