직사각형 밑면 쐬기란?
이 계산기에서 다루는 쐬기(wedge)는 길이 a, 너비 b인 평평한 직사각형을 밑면으로 갖는 입체입니다. 밑면에서 높이 h만큼 떨어진 위쪽에는 길이 c인 수평 윗모서리(능선, ridge)가 놓여 있는데, 이 모서리는 길이 a인 밑변과 평행하며 직사각형의 한가운데 위에 위치합니다. 밑면과 능선 사이는 비스듬한 면들이 이어 줍니다. c가 a와 같아지면 삼각기둥이 되고, c가 0으로 줄어들면 꼭짓점이 선분인 각뿔 모양이 됩니다.
사용 방법
네 가지 길이를 같은 단위로 입력하세요. 아래쪽 밑변 a, 밑면 너비 b, 윗모서리 c, 높이 h입니다. 모든 값은 0 이상이어야 합니다. 계산기는 부피를 세제곱 단위로, 옆넓이와 전체 표면적을 제곱 단위로 돌려줍니다. 모든 입력값이 하나의 단위를 공유하므로 별도의 단위 변환은 하지 않습니다. 즉 cm로 측정하면 부피는 cm³, 넓이는 cm²로 나옵니다.
공식 풀이
부피는 $$V = \frac{b \cdot h}{6}\left(2a + c\right)$$ 입니다. 옆넓이는 $$F = \frac{a + c}{2}\sqrt{4h^{2} + b^{2}} + b\sqrt{h^{2} + (a - c)^{2}}$$ 인데, 앞 항은 a 방향과 평행한 두 비스듬한 면을, 뒤 항은 양쪽 끝면 두 개를 나타냅니다. 전체 표면적 $$S = F + a \cdot b$$ 는 여기에 직사각형 밑면을 더한 값입니다. \((a - c)\)가 제곱으로 들어가므로 능선이 밑변보다 길든 짧든 결과에는 영향이 없습니다.
계산 예시
\(a = 4\), \(b = 3\), \(c = 3\), \(h = 5\) 인 경우: $$V = \frac{3 \cdot 5}{6}(2 \cdot 4 + 3) = 2.5 \cdot 11 = \mathbf{27.5}$$ $$F = 3.5 \cdot \sqrt{109} + 3 \cdot \sqrt{26} \approx 36.541 + 15.297 = \mathbf{51.838}$$ $$S = 51.838 + 12 = \mathbf{63.838}$$
자주 묻는 질문
윗모서리가 밑변보다 길어도 되나요? 됩니다. 끝면 항이 \((a - c)^{2}\) 를 쓰기 때문에, 능선이 더 길어도 항상 올바른 양수 넓이가 나옵니다.
h = 0이면 어떻게 되나요? 입체가 납작하게 무너집니다. 부피 \(V = 0\)이 되고, 표면적은 \(a \cdot b\)로 줄며, 옆넓이 항은 \(b \cdot |a - c|\) 로 단순해집니다.
단위를 따로 골라야 하나요? 아니요. 모든 입력이 하나의 길이 단위를 공유하므로, 결과는 그 단위의 세제곱(부피)과 제곱(넓이)으로 그대로 나옵니다.
