ما هو الإسفين ذو القاعدة المستطيلة؟
الإسفين في هذه الحاسبة هو مجسم له قاعدة مستطيلة مسطحة طولها a وعرضها b. وعلى ارتفاع h فوق القاعدة تقع حافة علوية أفقية (القمة الطولية أو "السنام") طولها c، تمتد موازيةً لضلع القاعدة ذي الطول a وتتمركز فوق المستطيل. وتربط أوجهٌ مائلة بين القاعدة والحافة العليا. وعندما تساوي c قيمة a يتحول الشكل إلى موشور ثلاثي؛ أما حين تتقلص c إلى الصفر فيصبح هرمًا قمته خط مستقيم.
طريقة الاستخدام
أدخل أربعة أطوال بالوحدة نفسها: القاعدة السفلى a، وعرض القاعدة b، والحافة العليا c، والارتفاع h. يجب أن تكون جميع القيم غير سالبة. تُرجع الحاسبة الحجم بوحدات مكعّبة، إضافةً إلى المساحة الجانبية والمساحة الكلية للسطح بوحدات مربّعة. وبما أن جميع المدخلات تشترك في وحدة واحدة، فلا يجري أي تحويل؛ فإذا قِست بالسنتيمتر كان الحجم بالسنتيمتر المكعّب (cm³) والمساحات بالسنتيمتر المربّع (cm²).
شرح المعادلات
يُحسب الحجم بالعلاقة $$V = \frac{b\cdot h}{6}\left(2a + c\right)$$ أما المساحة الجانبية فهي $$F = \frac{a + c}{2}\sqrt{4h^{2} + b^{2}} + b\sqrt{h^{2} + (a - c)^{2}}$$ يمثّل الحد الأول الوجهين المائلين الموازيين لاتجاه a، بينما يمثّل الحد الثاني الوجهين الطرفيين. وتُحسب المساحة الكلية للسطح بالعلاقة \(S = F + a\cdot b\) بإضافة القاعدة المستطيلة. لاحظ أن المقدار \((a - c)\) مرفوع إلى التربيع، لذا لا يهم ما إذا كانت الحافة العليا أطول أم أقصر من القاعدة.
مثال محلول
لنفترض أن a = 4، b = 3، c = 3، h = 5: عندئذٍ $$V = \frac{3\cdot 5}{6}(2\cdot 4+3) = 2.5\cdot 11 = 27.5$$ وتكون $$F = 3.5\cdot\sqrt{109} + 3\cdot\sqrt{26} \approx 36.541 + 15.297 = 51.838$$ وأخيرًا $$S = 51.838 + 12 = 63.838$$
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت الحافة العليا أطول من القاعدة؟ هذا مسموح به. فحدّ الوجه الطرفي يستخدم \((a - c)^{2}\)، ولذلك تعطي الحافة العليا الأطول مساحة موجبة صحيحة.
ماذا يحدث عندما h = 0؟ ينهار المجسم: يصبح \(V = 0\)، وتختزل مساحة السطح إلى \(a\cdot b\)، ويُبسَّط الحد الجانبي إلى \(b\cdot|a - c|\).
هل يلزمني اختيار وحدة قياس؟ لا. فجميع المدخلات تستخدم وحدة طولية واحدة مشتركة، ومن ثَمّ تكون المخرجات ببساطة تلك الوحدة مرفوعةً إلى التكعيب (الحجم) وإلى التربيع (المساحات).
