आयताकार आधार वाली वेज क्या है?
इस कैलकुलेटर में वेज (पच्चड़ जैसी आकृति) एक ऐसा ठोस है जिसका सपाट आयताकार आधार होता है — जिसकी लंबाई a और चौड़ाई b है। आधार से h ऊँचाई पर एक क्षैतिज ऊपरी किनारा (शिखर-रेखा या रिज) होता है जिसकी लंबाई c है। यह रिज, आधार की उस भुजा के समानांतर रहता है जिसकी लंबाई a है और आयत के ठीक बीचों-बीच ऊपर स्थित होता है। ढलवाँ फलक आधार को रिज से जोड़ते हैं। जब c बराबर a हो जाता है, तो आकृति एक त्रिकोणीय प्रिज्म बन जाती है; और जब c घटकर 0 हो जाता है, तो यह एक ऐसा पिरामिड बन जाता है जिसका शीर्ष किसी बिंदु के बजाय एक रेखा होती है।
इसका उपयोग कैसे करें
चारों लंबाइयाँ एक ही इकाई में दर्ज करें: निचला आधार a, आधार की चौड़ाई b, ऊपरी किनारा c, और ऊँचाई h। सभी मान शून्य या उससे अधिक (ऋणात्मक नहीं) होने चाहिए। कैलकुलेटर आपको आयतन घन इकाइयों में और पार्श्व व कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों वर्ग इकाइयों में देता है। चूँकि हर इनपुट एक ही इकाई में है, इसलिए कोई इकाई-रूपांतरण नहीं होता; यानी अगर आप cm में नापते हैं तो आयतन cm³ में और क्षेत्रफल cm² में आएगा।
सूत्रों की व्याख्या
आयतन है $$V = \frac{b \cdot h}{6}\left(2a + c\right)$$ पार्श्व क्षेत्रफल $$F = \frac{a + c}{2}\sqrt{4h^{2} + b^{2}} + b\sqrt{h^{2} + (a - c)^{2}}$$ इसका पहला पद a-दिशा के समानांतर दोनों ढलवाँ फलकों को दर्शाता है, और दूसरा पद दोनों सिरों वाले फलकों को। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $$S = F + a \cdot b$$ में आयताकार आधार जुड़ जाता है। ध्यान दें कि \((a - c)\) का वर्ग लिया जाता है, इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि रिज आधार से लंबा है या छोटा।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 4\), \(b = 3\), \(c = 3\), \(h = 5\): $$V = \frac{3 \cdot 5}{6}(2 \cdot 4 + 3) = 2.5 \cdot 11 = \mathbf{27.5}$$ $$F = 3.5 \cdot \sqrt{109} + 3 \cdot \sqrt{26} \approx 36.541 + 15.297 = \mathbf{51.838}$$ $$S = 51.838 + 12 = \mathbf{63.838}$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर ऊपरी किनारा आधार से लंबा हो तो? यह बिल्कुल मान्य है। सिरे वाले फलक के पद में \((a - c)^{2}\) होता है, इसलिए लंबा रिज भी एक सही, धनात्मक क्षेत्रफल देता है।
जब \(h = 0\) हो तो क्या होता है? ठोस चपटा होकर सिमट जाता है: \(V = 0\), पृष्ठीय क्षेत्रफल घटकर सिर्फ \(a \cdot b\) रह जाता है, और पार्श्व पद सरल होकर \(b \cdot |a - c|\) हो जाता है।
क्या मुझे कोई इकाई चुननी पड़ेगी? नहीं। सभी इनपुट एक ही रैखिक इकाई में होते हैं, इसलिए परिणाम बस उसी इकाई का घन (आयतन के लिए) और वर्ग (क्षेत्रफल के लिए) होते हैं।
