गोलीय टोपी (Spherical Cap) क्या होती है?
जब किसी गोले को एक समतल से काटा जाए और दो टुकड़ों में से कोई एक टुकड़ा रख लिया जाए, तो जो ठोस आकृति बनती है उसे गोलीय टोपी कहते हैं। दूसरे शब्दों में, यह एक वृत्तखंड (वह "धनुष जैसी" आकृति जो किसी जीवा और उसके चाप के बीच होती है) को उस व्यास के परितः घुमाने से बनने वाला घूर्णन ठोस है, जो जीवा को समकोण पर समद्विभाजित करता है। यह कैलकुलेटर दो मापों पर काम करता है: आधार त्रिज्या a (जीवा का आधा भाग, यानी समतल वृत्ताकार सतह की त्रिज्या) और टोपी की ऊँचाई h (सैजिटा, जो आधार तल से टोपी के शीर्ष तक नापी जाती है)। यह शुद्ध ज्यामिति है और किसी भी समान लंबाई के मात्रक में काम करता है।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
आधार त्रिज्या a और ऊँचाई h को एक ही लंबाई मात्रक में दर्ज करें (दोनों cm में, या दोनों इंच में, आदि)। कैलकुलेटर आधार क्षेत्रफल B, कुल सतह क्षेत्रफल A, आयतन V, और मूल गोले की त्रिज्या r लौटाता है। क्षेत्रफल मात्रक² में और आयतन मात्रक³ में आता है।
सूत्रों की व्याख्या
मूल गोले की त्रिज्या जीवा की ज्यामिति से निकाली जाती है: \(r = \frac{a^2 + h^2}{2h}\)। टोपी का आयतन $$V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot h\cdot(3a^2 + h^2)$$ होता है। सतह का घुमावदार (गोलीय) भाग \(2\pi r h\) है, और समतल आधार वृत्त \(\pi a^2\) है; यहाँ दिखाया गया कुल सतह क्षेत्रफल इन दोनों का योग है, $$A = \pi a^2 + 2\pi r h$$। जब \(h = r\) हो तो टोपी एक अर्धगोला बन जाती है; और जब \(h = 2r\) हो तो यह पूरा गोला बन जाता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(a = 3\) और \(h = 2\)। तब $$r = \frac{3^2 + 2^2}{2\cdot2} = \frac{13}{4} = 3.25$$ आधार क्षेत्रफल $$B = \pi\cdot3^2 = 9\pi \approx 28.27433$$ घुमावदार सतह \(= 2\pi\cdot3.25\cdot2 = 13\pi \approx 40.8407\), अतः कुल सतह $$A = 9\pi + 13\pi = 22\pi \approx 69.11504$$ आयतन $$V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot2\cdot(27 + 4) = \frac{31}{3}\pi \approx 32.46724$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या सतह क्षेत्रफल में समतल आधार भी शामिल होता है? हाँ। "कुल सतह क्षेत्रफल A" में समतल वृत्ताकार आधार (\(\pi a^2\)) और घुमावदार गोलीय सतह (\(2\pi r h\)) दोनों जोड़े जाते हैं। केवल घुमावदार सतह का मान अलग से भी दिखाया जाता है।
मुझे कौन-सा मात्रक इस्तेमाल करना चाहिए? कोई भी लंबाई मात्रक, बशर्ते a और h दोनों में एक ही हो। फिर क्षेत्रफल उसी मात्रक के वर्ग में और आयतन उसी मात्रक के घन में मिलेगा।
ऊँचाई शून्य से बड़ी क्यों होनी चाहिए? ऊँचाई शून्य होने पर \(r = \frac{a^2 + h^2}{2h}\) का भाजक शून्य हो जाएगा, और यह बिना आयतन वाली एक अपभ्रष्ट (degenerate) टोपी को दर्शाता है।
