ما هي القلنسوة الكروية؟
القلنسوة الكروية هي المجسم الناتج عند قطع الكرة بمستوٍ مسطّح والاحتفاظ بأحد الجزأين الناتجين. وبصياغة أخرى، هي مجسم الدوران الذي نحصل عليه عند تدوير قطعة دائرية (الشكل الذي يشبه "القوس" المحصور بين وتر والقوس المقابل له) حول القطر الذي ينصّف الوتر بزاوية قائمة. تعتمد هذه الحاسبة على قياسين اثنين: نصف قطر القاعدة a (وهو نصف الوتر، أي نصف قطر الوجه الدائري المسطّح)، والارتفاع h (الساجيتا، ويُقاس من مستوى القاعدة حتى قمة القلنسوة). إنها هندسة محضة وتعمل بأي وحدة طول متّسقة.
طريقة الاستخدام
أدخل نصف قطر القاعدة a والارتفاع h بالوحدة نفسها (كلاهما بالسنتيمتر، أو كلاهما بالبوصة، وهكذا). تُعيد الحاسبة مساحة القاعدة B، والمساحة السطحية الكلية A، والحجم V، ونصف قطر الكرة الأصلية r. تظهر المساحات بوحدة² ويظهر الحجم بوحدة³.
شرح المعادلات
يُستخرج نصف قطر الكرة الأصلية من هندسة الوتر وفق العلاقة: \( r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h} \). أما حجم القلنسوة فهو $$ V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot h\cdot\left(3a^{2} + h^{2}\right) $$ والجزء المنحني (الكروي) من السطح يساوي \( 2\pi r h \)، في حين أن قرص القاعدة المسطّح يساوي \( \pi a^{2} \)؛ والمساحة الكلية المعروضة هنا هي مجموعهما: $$ A = \pi a^{2} + 2\pi r h $$ عندما يكون \( h = r \) تصبح القلنسوة نصف كرة، وعندما يكون \( h = 2r \) تصبح الكرة كاملة.
مثال محلول
لنأخذ \( a = 3 \) و \( h = 2 \). عندئذٍ يكون $$ r = \frac{3^{2} + 2^{2}}{2\cdot 2} = \frac{13}{4} = 3.25 $$ مساحة القاعدة $$ B = \pi\cdot 3^{2} = 9\pi \approx 28.27433 $$ المساحة المنحنية $$ = 2\pi\cdot 3.25\cdot 2 = 13\pi \approx 40.8407 $$ إذًا المساحة الكلية $$ A = 9\pi + 13\pi = 22\pi \approx 69.11504 $$ والحجم $$ V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot 2\cdot\left(27 + 4\right) = \frac{31}{3}\pi \approx 32.46724 $$
الأسئلة الشائعة
هل تشمل المساحة السطحية القاعدة المسطّحة؟ نعم. تجمع "المساحة السطحية الكلية A" بين القاعدة الدائرية المسطّحة (\( \pi a^{2} \)) والسطح الكروي المنحني (\( 2\pi r h \)). أما قيمة السطح المنحني وحده فتُعرض بشكل منفصل.
أي وحدة أستخدم؟ أي وحدة طول، شرط أن يتشارك فيها كلٌّ من a و h. وعندئذٍ تكون المساحات بمربّع تلك الوحدة والحجم بمكعّبها.
لماذا يجب أن يكون الارتفاع أكبر من الصفر؟ لأن الارتفاع المساوي للصفر يجعل المقام في العلاقة \( r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h} \) يساوي صفرًا، ويصف قلنسوة منحلّة لا حجم لها.
