球冠（弓形の回転体）とは
球冠とは、球を1枚の平面で切ったときにできる2つの立体のうち、一方を取り出した形のことです。言い換えると、弓形（弦と円弧で囲まれた「弓」のような図形）を、弦に垂直で弦を二等分する直径を軸として回転させてできる回転体でもあります。この計算ツールでは、底面の半径 a（弦の半分にあたり、平らな円形の面の半径）と、球冠の高さ h（矢（さじった）。底面から球冠の頂点までの距離）という2つの値から計算します。純粋な幾何の計算なので、長さの単位をそろえれば任意の単位で使えます。
使い方
底面の半径 a と高さ h を、同じ長さの単位で入力します（両方ともcm、両方ともインチなど）。底面積 B、全表面積 A、体積 V、そして元になる球の半径 r が求められます。面積は単位の2乗、体積は単位の3乗で表されます。
計算式の解説
元の球の半径は、弦の幾何から次のように求められます。
$$r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h}$$球冠の体積は
$$V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot h\cdot(3a^{2} + h^{2})$$です。曲面（球面部分）の面積は \(2\pi rh\)、平らな底面の円の面積は \(\pi a^{2}\) で、ここで表示される全表面積はこの2つの合計、
$$A = \pi a^{2} + 2\pi rh$$となります。\(h = r\) のとき球冠は半球になり、\(h = 2r\) のとき球全体になります。
計算例
\(a = 3\)、\(h = 2\) とします。すると
$$r = \frac{3^{2} + 2^{2}}{2\cdot 2} = \frac{13}{4} = 3.25$$底面積
$$B = \pi\cdot 3^{2} = 9\pi \approx 28.27433$$曲面の面積
$$2\pi\cdot 3.25\cdot 2 = 13\pi \approx 40.8407$$なので、全表面積
$$A = 9\pi + 13\pi = 22\pi \approx 69.11504$$体積
$$V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot 2\cdot(27 + 4) = \frac{31}{3}\pi \approx 32.46724$$となります。
よくある質問
表面積には平らな底面も含まれますか？ はい。「全表面積 A」は、平らな円形の底面（\(\pi a^{2}\)）と曲面の球面部分（\(2\pi rh\)）を合計した値です。曲面のみの値は別に表示しています。
どの単位を使えばよいですか？ a と h が同じ単位であれば、どの長さの単位でもかまいません。その場合、面積はその単位の2乗、体積はその単位の3乗になります。
なぜ高さは0より大きくなければならないのですか？ 高さが0だと、\(r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h}\) の分母が0になってしまい、体積を持たない退化した球冠になってしまうためです。
