¿Qué es un casquete esférico?
Un casquete esférico es el sólido que obtienes al cortar una esfera con un plano y quedarte con una de las dos partes. Dicho de otro modo, es el sólido de revolución que se genera al girar un segmento circular (esa figura «de arco» que queda entre una cuerda y su arco) alrededor del diámetro que corta la cuerda perpendicularmente por su punto medio. Esta calculadora parte de dos medidas: el radio de la base a (la mitad de la cuerda, es decir, el radio de la cara circular plana) y la altura del casquete h (la sagita, medida desde el plano de la base hasta el punto más alto del casquete). Es pura geometría y funciona con cualquier unidad de longitud, siempre que sea coherente.
Cómo usarla
Introduce el radio de la base a y la altura h en la misma unidad de longitud (ambas en cm, ambas en pulgadas, etc.). La calculadora te devuelve el área de la base B, la superficie total A, el volumen V y el radio r de la esfera de la que procede el casquete. Las áreas se expresan en unidad² y el volumen en unidad³.
Las fórmulas explicadas
El radio de la esfera se deduce de la geometría de la cuerda: $$r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h}.$$ El volumen del casquete es $$V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot h\cdot(3a^{2} + h^{2}).$$ La parte curva (esférica) de la superficie vale \(2\pi r h\) y el disco plano de la base es \(\pi a^{2}\); la superficie total que se muestra aquí es la suma de ambas, $$A = \pi a^{2} + 2\pi r h.$$ Cuando \(h = r\), el casquete es una semiesfera; cuando \(h = 2r\), se convierte en la esfera completa.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(a = 3\) y \(h = 2\). Entonces $$r = \frac{3^{2} + 2^{2}}{2\cdot 2} = \frac{13}{4} = 3{,}25.$$ Área de la base $$B = \pi\cdot 3^{2} = 9\pi \approx 28{,}27433.$$ Superficie curva \(= 2\pi\cdot 3{,}25\cdot 2 = 13\pi \approx 40{,}8407\), así que la superficie total $$A = 9\pi + 13\pi = 22\pi \approx 69{,}11504.$$ Volumen $$V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot 2\cdot(27 + 4) = \frac{31}{3}\pi \approx 32{,}46724.$$
Preguntas frecuentes
¿La superficie incluye la base plana? Sí. La «superficie total A» suma la base circular plana (\(\pi a^{2}\)) y la superficie esférica curva (\(2\pi r h\)). El valor de solo la parte curva se muestra por separado.
¿Qué unidad debo usar? Cualquier unidad de longitud, siempre que a y h compartan la misma. En ese caso, las áreas quedan en esa unidad al cuadrado y el volumen en esa unidad al cubo.
¿Por qué la altura tiene que ser mayor que cero? Una altura de cero anularía el denominador en \(r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h}\) y describiría un casquete degenerado, sin volumen.
