Что такое шаровой сегмент?
Шаровой сегмент — это тело, которое получается, если рассечь шар плоскостью и оставить одну из двух частей. Иначе говоря, это тело вращения, образованное при повороте кругового сегмента (той самой «фигуры-лука» между хордой и дугой) вокруг диаметра, который делит хорду пополам под прямым углом. Калькулятор работает с двумя величинами: радиусом основания a (половина хорды, то есть радиус плоского круглого основания) и высотой сегмента h (стрелка сегмента, отсчитываемая от плоскости основания до вершины). Это чистая геометрия, поэтому подойдёт любая единица длины — главное, чтобы она была одна и та же.
Как пользоваться
Введите радиус основания a и высоту h в одной и той же единице длины (обе в см, обе в дюймах и т. д.). Калькулятор выдаст площадь основания B, полную площадь поверхности A, объём V и радиус r исходной сферы. Площади получаются в единицах², а объём — в единицах³.
Разбор формул
Радиус исходной сферы находится из геометрии хорды: \( r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h} \). Объём сегмента равен $$ V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot h\cdot\left(3a^{2} + h^{2}\right). $$ Криволинейная (сферическая) часть поверхности равна \( 2\pi r h \), а плоское основание — круг площадью \( \pi a^{2} \); полная поверхность здесь — это их сумма: $$ A = \pi a^{2} + 2\pi r h. $$ При \( h = r \) сегмент превращается в полушарие, а при \( h = 2r \) — в целую сферу.
Пример расчёта
Возьмём \( a = 3 \) и \( h = 2 \). Тогда $$ r = \frac{3^{2} + 2^{2}}{2\cdot 2} = \frac{13}{4} = 3{,}25. $$ Площадь основания \( B = \pi\cdot 3^{2} = 9\pi \approx 28{,}27433 \). Криволинейная поверхность \( = 2\pi\cdot 3{,}25\cdot 2 = 13\pi \approx 40{,}8407 \), поэтому полная поверхность \( A = 9\pi + 13\pi = 22\pi \approx 69{,}11504 \). Объём $$ V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot 2\cdot\left(27 + 4\right) = \frac{31}{3}\pi \approx 32{,}46724. $$
Частые вопросы
Учитывается ли в площади поверхности плоское основание? Да. «Полная площадь поверхности A» складывает плоское круглое основание (\( \pi a^{2} \)) и криволинейную сферическую поверхность (\( 2\pi r h \)). Значение только для криволинейной части показано отдельно.
В каких единицах считать? В любой единице длины, лишь бы a и h были выражены в одной и той же. Тогда площади получатся в квадратах этой единицы, а объём — в кубах.
Почему высота должна быть больше нуля? При нулевой высоте знаменатель в формуле \( r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h} \) обращается в ноль, а сам «сегмент» вырождается и не имеет объёма.
