구면 캡(구관)이란?
구면 캡(구관)은 구를 하나의 평면으로 잘랐을 때 생기는 두 조각 중 한쪽을 말합니다. 다르게 보면, 활꼴(현과 호 사이의 '활 모양' 영역)을 그 현을 수직으로 이등분하는 지름을 축으로 회전시켜 만든 회전체이기도 합니다. 이 계산기는 두 가지 값만 있으면 됩니다. 바로 밑면 반지름 a(현의 절반이자 평평한 원형 단면의 반지름)와 캡 높이 h(밑면에서 캡의 꼭대기까지 잰 길이, 즉 사지타)입니다. 순수한 기하 계산이므로 길이 단위만 통일하면 어떤 단위에서도 사용할 수 있습니다.
사용 방법
밑면 반지름 a와 높이 h를 같은 길이 단위로 입력하세요(둘 다 cm, 둘 다 inch 등). 그러면 밑면적 B, 전체 표면적 A, 부피 V, 그리고 원래 구의 반지름 r이 계산됩니다. 면적은 단위², 부피는 단위³ 단위로 출력됩니다.
공식 풀이
원래 구의 반지름은 현의 기하 관계에서 얻습니다: $$r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h}$$ 캡의 부피는 $$V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot h\cdot\left(3a^{2} + h^{2}\right)$$입니다. 곡면(구면) 부분의 넓이는 \(2\pi r h\)이고, 평평한 밑면 원판은 \(\pi a^{2}\)입니다. 여기서 보여 주는 전체 표면적은 이 둘의 합인 $$A = \pi a^{2} + 2\pi r h$$입니다. \(h = r\)이면 캡은 반구가 되고, \(h = 2r\)이면 구 전체가 됩니다.
계산 예시
\(a = 3\), \(h = 2\)라고 합시다. 그러면 $$r = \frac{3^{2} + 2^{2}}{2\cdot 2} = \frac{13}{4} = 3.25$$입니다. 밑면적 $$B = \pi\cdot 3^{2} = 9\pi \approx 28.27433$$ 곡면 넓이 $$= 2\pi\cdot 3.25\cdot 2 = 13\pi \approx 40.8407$$이므로 전체 표면적 $$A = 9\pi + 13\pi = 22\pi \approx 69.11504$$ 부피 $$V = \frac{1}{6}\cdot\pi\cdot 2\cdot\left(27 + 4\right) = \frac{31}{3}\pi \approx 32.46724$$가 됩니다.
자주 묻는 질문
표면적에 평평한 밑면도 포함되나요? 네. '전체 표면적 A'는 평평한 원형 밑면(\(\pi a^{2}\))과 곡면(\(2\pi r h\))을 모두 더한 값입니다. 곡면만의 넓이는 별도로 표시됩니다.
어떤 단위를 써야 하나요? a와 h를 같은 단위로 맞추기만 하면 어떤 길이 단위든 사용할 수 있습니다. 그러면 면적은 그 단위의 제곱, 부피는 세제곱으로 나옵니다.
높이는 왜 0보다 커야 하나요? 높이가 0이면 \(r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2h}\)의 분모가 0이 되어 계산이 불가능하며, 부피가 없는 퇴화된 캡을 뜻하기 때문입니다.
