这个计算器能做什么
单样本 z 检验用于判断某个样本的均值是否与已知或假设的总体均值存在显著差异。当总体标准差（sigma）已知时，它就是最合适的检验方法。本工具会输出检验统计量 \(z\)、标准误、你所选显著性水平下的临界 \(z\) 值、p 值，并明确告诉你这一差异在统计上是否显著。
使用方法
先以百分比形式填写显著性水平 alpha（填 5 即表示 0.05）。选择双侧检验（样本均值可能偏高也可能偏低）或单侧检验（你只关心某一个方向的偏离）。然后依次输入假设的总体均值（mu0）、已知的总体标准差（sigma）、观测到的样本均值（x-bar）以及样本量（n）。点击「计算」即可获得完整结果。
公式详解
标准误为 \(SE = \sigma / \sqrt{n}\)。检验统计量为 \(z = (\bar{x} - \mu_0) / SE\)。临界值来自标准正态分布的逆累积分布函数：双侧检验时 \(z_{crit} = \Phi^{-1}(1 - \alpha/2)\)；单侧检验时 \(z_{crit} = \Phi^{-1}(1 - \alpha)\)。p 值在双侧检验下为 \(2(1 - \Phi(|z|))\)，单侧检验下为 \(1 - \Phi(|z|)\)，其中 \(\Phi\) 表示标准正态分布的累积分布函数。当 \(|z|\) 超过 \(z_{crit}\)（等价于 \(p\) 小于 \(\alpha\)）时，结果显著，即拒绝原假设 H0：\(\bar{x} = \mu_0\)。
实例演算
设 \(\mu_0 = 58\)、\(\sigma = 4.5\)、\(\bar{x} = 60\)、\(n = 25\)，采用 alpha = 5% 的双侧检验： $$SE = \frac{4.5}{\sqrt{25}} = 0.9$$ $$z = \frac{60 - 58}{0.9} = 2.2222$$ 双侧临界值 \(\Phi^{-1}(0.975) = 1.95996\)。由于 \(2.2222 > 1.95996\)，差异显著。p 值为 \(2(1 - \Phi(2.2222)) = 0.0263\)，小于 0.05，进一步印证了这一结论。
常见问题
什么时候应该改用 t 检验？当你只知道样本标准差（总体 sigma 未知）时应使用 t 检验，尤其是在小样本的情况下；它采用自由度为 \(n-1\) 的学生 t 分布。
p 值到底代表什么？它表示在 H0 成立的前提下，观测到至少与你的结果一样极端的偏离的概率。p 值较小（低于 alpha）说明这一差异不太可能仅由随机因素造成。
选双侧还是单侧？除非你事先有充分理由只检验某一个方向，否则建议使用双侧检验；单侧检验的检验功效更高，但只能侦测所选方向上的偏离。
