일표본 비율 Z-검정이란?
일표본 비율 z-검정은 표본에서 얻은 비율(\(\hat{p}\))이 이미 알려져 있거나 가설로 정한 모집단 비율(\(p_0\))과 통계적으로 유의하게 다른지 확인하는 방법입니다. 설문조사, 품질 관리, A/B 테스트, 의학 연구 등 '예/아니오' 형태의 결과를 측정하고 관측된 비율이 주장된 비율과 일치하는지 알고 싶을 때 폭넓게 활용됩니다.
계산기 사용 방법
성공 횟수(\(x\)), 전체 표본 크기(\(n\)), 그리고 0과 1 사이의 가설 비율(\(p_0\))을 입력하세요. 이어서 대립가설을 양측 검정, 좌측 검정, 우측 검정 중에서 선택합니다. 계산기는 표본 비율, 표준오차, z 검정 통계량, 그리고 이에 대응하는 p값을 보여 줍니다. 산출된 p값을 정해 둔 유의수준(보통 0.05)과 비교하세요. p값이 더 작다면 귀무가설을 기각합니다.
공식 자세히 알아보기
표준오차는 귀무가설 하에서 \(\sqrt{p_0(1-p_0)/n}\)로 계산합니다. z 통계량은 표본 비율과 \(p_0\) 사이의 거리를 표준오차 단위로 나타낸 값으로, 다음과 같습니다.
$$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$p값은 표준정규분포에서 구합니다. 이 검정은 표본분포가 근사적으로 정규분포를 따른다고 가정하며, 이는 \(n \cdot p_0 \geq 10\) 이고 \(n \cdot (1-p_0) \geq 10\) 일 때 성립합니다.
예제 풀이
100명 중 45명이 신제품을 선호한다고 가정하고, 이를 \(p_0 = 0.5\)에 대해 검정한다고 해 봅시다. 그러면 \(\hat{p} = 0.45\),
$$SE = \sqrt{\frac{0.5 \cdot 0.5}{100}} = 0.05$$그리고
$$z = \frac{0.45 - 0.5}{0.05} = -1.0$$이 됩니다. 양측 p값은 약 0.317이므로 50%와 유의미한 차이가 없다고 결론 내립니다.
자주 묻는 질문
t-검정 대신 z-검정은 언제 사용하나요? 표본이 충분히 큰 비율 자료에는 z-검정이 표준적으로 사용됩니다. t-검정은 분산을 모르는 평균을 다룰 때 사용합니다.
표본 크기가 어느 정도면 충분한가요? 일반적인 기준은 기대 성공 횟수와 기대 실패 횟수가 각각 10 이상인 경우입니다(\(n \cdot p_0 \geq 10\) 이고 \(n \cdot (1-p_0) \geq 10\)).
p값이 작다는 것은 무슨 의미인가요? 실제 비율이 \(p_0\)와 같다면 관측된 비율이 나타날 가능성이 매우 낮다는 뜻이며, 이는 귀무가설을 기각할 근거가 됩니다.
