¿Qué es una prueba z para una proporción?
La prueba z para una proporción comprueba si una proporción muestral (p̂) difiere de forma significativa de una proporción poblacional conocida o hipotética (p₀). Se utiliza mucho en encuestas, control de calidad, pruebas A/B y estudios médicos: siempre que mides un resultado de tipo sí/no y quieres saber si la tasa observada es coherente con la tasa que se afirma.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número de éxitos (x), el tamaño total de la muestra (n) y la proporción hipotética (p₀), comprendida entre 0 y 1. Elige tu hipótesis alternativa: bilateral, de cola izquierda o de cola derecha. La calculadora te devuelve la proporción muestral, el error estándar, el estadístico de contraste z y el valor p correspondiente. Compara el valor p con el nivel de significación que hayas elegido (habitualmente 0,05): si es menor, rechazas la hipótesis nula.
La fórmula explicada
El error estándar se calcula bajo la hipótesis nula como \(\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}\). El estadístico z es la distancia entre la proporción muestral y p₀ medida en errores estándar:
$$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\text{EE}}$$El valor p se obtiene a partir de la distribución normal estándar. Esta prueba supone que la distribución muestral es aproximadamente normal, algo que se cumple cuando \(n \cdot p_0 \ge 10\) y \(n \cdot (1-p_0) \ge 10\).
Ejemplo resuelto
Imagina que 45 de cada 100 personas prefieren un producto nuevo y quieres contrastarlo frente a \(p_0 = 0{,}5\). Entonces \(\hat{p} = 0{,}45\),
$$\text{EE} = \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100}} = 0{,}05$$$$z = \frac{0{,}45 - 0{,}5}{0{,}05} = -1{,}0$$El valor p bilateral es de aproximadamente 0,317, por lo que no hay diferencia significativa respecto al 50 %.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo conviene usar una prueba z en lugar de una prueba t? Para proporciones con una muestra lo bastante grande, la prueba z es la habitual; la prueba t se reserva para medias con varianza desconocida.
¿Qué tamaño muestral es suficiente? Una regla habitual es contar con al menos 10 éxitos y 10 fracasos esperados (\(n \cdot p_0 \ge 10\) y \(n \cdot (1-p_0) \ge 10\)).
¿Qué significa un valor p pequeño? Indica que la proporción observada sería poco probable si la proporción real fuera igual a p₀, lo que aporta evidencia para rechazar la hipótesis nula.
