ما هو اختبار t لعينة واحدة؟
يتحقق اختبار t لعينة واحدة مما إذا كان متوسط عينة منفردة يختلف اختلافًا جوهريًا عن متوسط معروف أو مفترض للمجتمع (\(\mu_0\)). ويُستخدم هذا الاختبار على نطاق واسع عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع مجهولًا ويكون حجم العينة صغيرًا نسبيًا. تحسب هذه الأداة إحصائية الاختبار t، ودرجات الحرية، والخطأ المعياري للمتوسط.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل متوسط العينة (\(\bar{x}\))، والمتوسط المفترض للمجتمع (\(\mu_0\))، والانحراف المعياري للعينة (\(s\))، وحجم العينة (\(n\)). ستعرض لك الحاسبة قيمة إحصائية t. قارن قيمتها المطلقة بالقيمة الحرجة لـ t عند مستوى الدلالة الذي اخترته (مثل \(\alpha = 0.05\)) ودرجات الحرية \(df = n - 1\)، أو حوّلها إلى قيمة احتمالية (p-value)، لتقرر ما إذا كنت سترفض الفرضية الصفرية.
شرح المعادلة
تُحسب الإحصائية على النحو التالي: $$t = \dfrac{\text{Sample Mean} - \text{Population Mean}}{\text{Std Dev} \big/ \sqrt{\text{Sample Size}}}$$ يقيس البسط مدى بُعد متوسط العينة عن المتوسط المفترض، أما المقام، وهو الخطأ المعياري، فيُعدّل هذا الفرق وفقًا لتباين أخذ العينات. وكلما كانت قيمة \(|t|\) أكبر، دلّ ذلك على أن متوسط العينة أبعد عن \(\mu_0\) مقارنةً بالتشويش العشوائي، مما يجعل احتمال أن يكون الفرق حقيقيًا أكبر.
مثال محلول
لنفترض أن \(\bar{x} = 10.5\)، و\(\mu_0 = 10\)، و\(s = 2\)، و\(n = 25\). الخطأ المعياري هو $$\frac{2}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5} = 0.4$$ ومن ثَمّ تكون $$t = \frac{10.5 - 10}{0.4} = \frac{0.5}{0.4} = 1.25$$ مع درجات حرية \(df = 24\). وعند مقارنة \(1.25\) بالقيمة الحرجة \(t_{0.025,\,24} \approx 2.064\)، يتبيّن أننا نفشل في رفض الفرضية الصفرية.
الأسئلة الشائعة
متى ينبغي أن أستخدم اختبار t لعينة واحدة؟ عندما تكون لديك عينة متصلة واحدة وترغب في مقارنة متوسطها بقيمة مرجعية ثابتة منفردة، ويكون الانحراف المعياري للمجتمع مجهولًا.
ما هي الافتراضات المطلوبة؟ ينبغي أن تتبع البيانات توزيعًا طبيعيًا تقريبًا (أو أن يكون حجم العينة \(n\) كبيرًا بما يكفي)، وأن تكون المشاهدات مستقلة عن بعضها.
كيف أحصل على القيمة الاحتمالية (p-value)؟ استخدم قيمتي t ودرجات الحرية مع جدول توزيع t أو برنامج إحصائي للعثور على القيمة الاحتمالية المقابلة، سواء للاختبار ثنائي الطرف أو أحادي الطرف.
