ما هي قاعدة سيمبسون؟
قاعدة سيمبسون هي أسلوب من أساليب التكامل العددي يقرّب المساحة تحت المنحنى عبر تمرير قطوع مكافئة خلال مجموعات من ثلاث نقاط. وهي أدق بكثير من قاعدة شبه المنحرف عند التعامل مع الدوال الناعمة (المنتظمة)، لأنها تأخذ انحناء المنحنى بعين الاعتبار بدلاً من الاكتفاء بقطع مستقيمة. تحسب هذه الأداة قيمة أي دالة ذات متغير واحد \(f(x)\) على الفترة \([a, b]\) باستخدام صيغة سيمبسون المركّبة من النوع 1/3.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل دالتك مستخدماً الرمز x كمتغير — على سبيل المثال x^2 أو sin(x) أو exp(-x)*cos(x). العمليات المدعومة هي + − * / ^، أما الدوال المتاحة فهي sin وcos وtan وexp وln وlog وsqrt وabs (تُقاس الزوايا بالراديان). بعد ذلك حدّد الحد الأدنى \(a\)، والحد الأعلى \(b\)، وعدد الفترات الجزئية \(n\). وبما أن الطريقة تجمع كل فترتين معاً في قطع مكافئ واحد، يجب أن يكون \(n\) زوجياً؛ وإذا أدخلت قيمة فردية فسيتم تقريبها إلى الأعلى تلقائياً.
شرح الصيغة الرياضية
تُقسَّم الفترة إلى \(n\) جزءاً متساوياً عرض كل منها \(\Delta x = (b - a)/n\)، فنحصل على النقاط \(x_0\) و\(x_1\) و… و\(x_n\). تُضرب قيمتا الطرفين \(f_0\) و\(f_n\) في الوزن 1، وتُضرب النقاط الداخلية ذات الدليل الفردي في 4، والنقاط الداخلية ذات الدليل الزوجي في 2. ثم يُضرب المجموع الموزون في \(\Delta x/3\) للحصول على تقدير قيمة التكامل.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\!\!\sum_{i\,\text{odd}}\!\! f(x_i) + 2\!\!\sum_{i\,\text{even}}\!\! f(x_i) + f(x_n) \right]$$
مثال تطبيقي
لنحسب تكامل الدالة \(f(x) = x^2\) من 0 إلى 2 مع \(n = 4\). عندئذٍ يكون \(\Delta x = 0.5\) والنقاط هي 0 و0.5 و1 و1.5 و2 وقيمها 0 و0.25 و1 و2.25 و4. مجموع الأدلة الفردية \(= 0.25 + 2.25 = 2.5\)؛ ومجموع الأدلة الزوجية \(= 1\). والنتيجة \(= (0.5/3)\cdot[0 + 4(2.5) + 2(1) + 4] = (0.5/3)\cdot 16 = 2.6667\)، وهي تطابق القيمة الدقيقة \(8/3\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون \(n\) زوجياً؟ لأن كل قطع مكافئ يمتد على فترتين جزئيتين، لذا يجب أن يكون العدد قابلاً للقسمة على 2.
ما مدى دقة هذه الطريقة؟ يتناقص الخطأ بمقدار يتناسب مع القوة الرابعة لـ \(\Delta x\)، أي أن مضاعفة قيمة \(n\) تقلّل الخطأ بنحو 16 ضعفاً للدوال الناعمة. كما أن قاعدة سيمبسون دقيقة تماماً مع كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة.
ماذا عن الزوايا؟ تستخدم الدوال المثلثية وحدة الراديان، لذا حوّل الدرجات إلى راديان أولاً إذا لزم الأمر.
