सिम्पसन रूल क्या है?
सिम्पसन रूल एक संख्यात्मक समाकलन (numerical integration) तकनीक है, जो किसी वक्र के नीचे के क्षेत्रफल का अनुमान तीन-तीन बिंदुओं के समूहों से होकर गुज़रने वाले परवलयों (parabolas) के ज़रिए लगाती है। चिकने (smooth) फलनों के लिए यह ट्रेपेज़ॉइडल रूल से कहीं अधिक सटीक होता है, क्योंकि यह केवल सीधी रेखाओं के बजाय वक्र के मोड़ (curvature) को भी पकड़ लेता है। यह कैलकुलेटर किसी भी एक-चर फलन \(f(x)\) का अंतराल \([a, b]\) पर संयुक्त सिम्पसन 1/3 रूल (composite Simpson's 1/3 rule) से मान निकालता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपना फलन लिखते समय चर के रूप में x का प्रयोग करें — जैसे x^2, sin(x), या exp(-x)*cos(x)। समर्थित ऑपरेटर हैं + − * / ^ और फलन हैं sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt और abs (कोण रेडियन में)। निचली सीमा \(a\), ऊपरी सीमा \(b\) और उपअंतरालों की संख्या \(n\) दर्ज करें। चूँकि यह विधि अंतरालों को जोड़े बनाकर परवलयों में बाँटती है, इसलिए n का सम (even) होना ज़रूरी है; यदि आप विषम मान डालते हैं तो उसे अपने-आप अगली सम संख्या तक बढ़ा दिया जाता है।
सूत्र को समझें
अंतराल को \(n\) बराबर हिस्सों में बाँटा जाता है, जिनकी चौड़ाई \(\Delta x = (b - a)/n\) होती है, और इस तरह नमूना बिंदु \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) मिलते हैं। सिरे के बिंदु \(f_0\) और \(f_n\) का भार (weight) 1 होता है, विषम क्रमांक वाले भीतरी बिंदुओं का भार 4 और सम क्रमांक वाले भीतरी बिंदुओं का भार 2 होता है। इस भारित योग को \(\Delta x/3\) से गुणा करके समाकल का अनुमान मिल जाता है।
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\!\!\sum_{i\,\text{odd}}\!\! f(x_i) + 2\!\!\sum_{i\,\text{even}}\!\! f(x_i) + f(x_n) \right]$$
हल किया हुआ उदाहरण
\(f(x) = x^2\) का 0 से 2 तक \(n = 4\) के साथ समाकलन कीजिए। तब \(\Delta x = 0.5\) होगा और बिंदु होंगे 0, 0.5, 1, 1.5, 2 जिनके मान हैं 0, 0.25, 1, 2.25, 4। विषम योग \(= 0.25 + 2.25 = 2.5\); सम योग \(= 1\)। परिणाम \(= (0.5/3)\cdot[0 + 4(2.5) + 2(1) + 4] = (0.5/3)\cdot 16 = 2.6667\), जो सटीक मान \(8/3\) के बराबर है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
n का सम होना क्यों ज़रूरी है? हर परवलय दो उपअंतरालों पर फैला होता है, इसलिए कुल संख्या 2 से विभाज्य होनी चाहिए।
यह कितना सटीक है? त्रुटि \(\Delta x\) की चौथी घात के अनुपात में घटती है, यानी \(n\) को दोगुना करने पर चिकने फलनों के लिए त्रुटि लगभग 16 गुना कम हो जाती है। घन (cubic) बहुपदों के लिए सिम्पसन रूल बिल्कुल सटीक होता है।
कोणों का क्या? त्रिकोणमितीय फलन रेडियन में काम करते हैं, इसलिए ज़रूरत पड़ने पर पहले डिग्री को रेडियन में बदल लें।
