कोसाइन नियम क्या है?
कोसाइन नियम (जिसे law of cosines या cosine rule भी कहते हैं) पाइथागोरस प्रमेय को हर तरह के त्रिभुज तक बढ़ा देता है। यह तीनों भुजाओं की लंबाई को किसी एक कोण के कोसाइन से जोड़ता है, इसलिए यह उस त्रिभुज में भी काम करता है जिसमें कोई समकोण न हो। यह कैलकुलेटर इसे आम "SAS" स्थिति में इस्तेमाल करता है: आप दो भुजाएँ और उनके बीच घिरा हुआ कोण देते हैं, और यह छूटी हुई भुजा के साथ-साथ बाकी दोनों कोण, परिमाप और क्षेत्रफल लौटा देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
भुजा a, भुजा b और बीच का कोण C डिग्री में डालें (वह कोण जो भुजा a और b के बीच में होता है)। फिर "कैलकुलेट" दबाएँ। यह टूल पहले तीसरी भुजा c ज्ञात करता है, फिर कोसाइन नियम के पुनर्व्यवस्थित रूप से कोण A और B निकालता है। चूँकि तीनों कोणों का योग हमेशा 180° होता है, आप परिणाम को झटपट जाँच सकते हैं।
सूत्र की व्याख्या
ज्ञात कोण के सामने वाली भुजा निकालने के लिए: $$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos\!\left(C\right)$$ ध्यान दें कि जब \(C = 90°\) होता है, तो \(\cos(C) = 0\) हो जाता है और यह समीकरण परिचित \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) में बदल जाता है। तीन ज्ञात भुजाओं से उलटकर कोण निकालने के लिए इसे इस तरह पुनर्व्यवस्थित करें: $$C = \cos^{-1}\!\left(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}\right)$$ त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(C)\) से निकाला जाता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(a = 5\), \(b = 7\) और \(C = 60°\)। तब $$c^{2} = 25 + 49 - 2\cdot 5\cdot 7\cdot\cos(60°) = 74 - 70\cdot 0.5 = 39$$ इसलिए \(c = \sqrt{39} \approx 6.245\)। कोण \(A = \cos^{-1}\!\left(\frac{49 + 39 - 25}{2\cdot 7\cdot 6.245}\right) \approx 43.9°\), और कोण \(B \approx 76.1°\)। तीनों कोण \(43.9 + 76.1 + 60 = 180°\) ✓। क्षेत्रफल \(= \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\sin(60°) \approx 15.16\)।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
अगर मुझे सिर्फ़ तीनों भुजाएँ ही पता हों तो? दूसरे सूत्र का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई से सीधे कोई भी कोण निकाल सकते हैं।
क्या यह अधिक कोण (obtuse) वाले त्रिभुजों के लिए भी काम करता है? हाँ। 90° से बड़े कोण का कोसाइन ऋणात्मक होता है, और सूत्र इसे अपने-आप संभाल लेता है।
यह कौन-सी इकाइयाँ इस्तेमाल करता है? भुजाएँ इकाई-रहित हैं (कोई भी एक समान इकाई इस्तेमाल करें), और कोण डिग्री में डाले व लौटाए जाते हैं।
