Qu'est-ce que la loi des cosinus ?
La loi des cosinus — connue en France sous le nom de théorème d'Al-Kashi — généralise le théorème de Pythagore à n'importe quel triangle. Elle relie la longueur des trois côtés au cosinus de l'un des angles : elle fonctionne donc même lorsque le triangle ne possède aucun angle droit. Ce calculateur l'applique dans le cas classique « CAC » (côté–angle–côté) : vous indiquez deux côtés et l'angle situé entre eux, et il renvoie le côté manquant, les deux autres angles, le périmètre et l'aire.
Comment l'utiliser
Saisissez le côté a, le côté b et l'angle compris C en degrés (l'angle situé entre les côtés a et b). Cliquez sur « Calculer ». L'outil détermine d'abord le troisième côté c, puis applique la forme réarrangée de la loi des cosinus pour calculer les angles A et B. Comme la somme des trois angles vaut toujours 180°, vous pouvez vérifier le résultat en un coup d'œil.
La formule expliquée
Pour trouver le côté opposé à l'angle connu :
$$c^{2} = \text{a}^{2} + \text{b}^{2} - 2\,\text{a}\,\text{b}\cos\!\left(\text{C}\right)$$Remarquez que lorsque C = 90°, \(\cos(\text{C}) = 0\) et l'expression se réduit à la célèbre relation \(c^{2} = \text{a}^{2} + \text{b}^{2}\). Pour faire le chemin inverse et déduire un angle à partir des trois côtés, on réarrange ainsi :
$$\text{C} = \cos^{-1}\!\left(\frac{\text{a}^{2} + \text{b}^{2} - c^{2}}{2\,\text{a}\,\text{b}}\right)$$L'aire du triangle se calcule, quant à elle, par \(\tfrac{1}{2}\,\text{a}\,\text{b}\,\sin\!\left(\text{C}\right)\).
Exemple détaillé
Prenons a = 5, b = 7 et C = 60°. On obtient $$c^{2} = 25 + 49 - 2\cdot 5\cdot 7\cdot\cos(60°) = 74 - 70\cdot 0{,}5 = 39,$$ donc \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\). L'angle \(A = \cos^{-1}\!\left(\frac{49 + 39 - 25}{2\cdot 7\cdot 6{,}245}\right) \approx 43{,}9°\) et l'angle \(B \approx 76{,}1°\). La somme des trois angles donne bien \(43{,}9 + 76{,}1 + 60 = 180°\) ✓. L'aire vaut \(\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\sin(60°) \approx 15{,}16\).
Questions fréquentes
Et si je ne connais que les trois côtés ? Utilisez la seconde formule pour calculer directement n'importe quel angle à partir des longueurs des côtés.
Cela fonctionne-t-il pour les triangles obtus ? Oui. Le cosinus d'un angle supérieur à 90° est négatif, ce que la formule prend automatiquement en compte.
Quelles unités sont utilisées ? Les côtés sont sans unité (employez n'importe quelle unité, à condition de rester cohérent) et les angles se saisissent et s'affichent en degrés.
