ما هو توزيع المدى المُستَودَن؟
إحصاءة المدى المُستَودَن \(q\) تقيس الفارق بين أكبر متوسطات العيّنة وأصغرها من بين \(r\) متوسطًا، مقسومًا على خطأ معياري مُقدَّر بشكل مستقل بـ \(\nu\) درجة حرية. ويقوم هذا التوزيع أساسًا لاختبار الفرق المعنوي الصادق لـ Tukey (اختبار HSD) وغيره من إجراءات المقارنات المتعددة البعدية. تُرجع هذه الحاسبة الاحتمال التراكمي السفلي \(P(Q \le q) = F(q, r, \nu)\) واحتمال الذيل العلوي \(P(Q > q) = 1 - F\). وهي دالة إحصائية بحتة تنطبق عالميًا دون أي قواعد إقليمية خاصة.
كيفية الاستخدام
أدخل أربعة أرقام: الكمّية \(q\) التي تُقيَّم عندها الدالة التراكمية، وحجم العيّنة \(r\) (عدد متوسطات المعالجات داخل المدى، ولا يقل عن 2)، ودرجات حرية الخطأ \(\nu\)، وعدد المجموعات المستقلة \(c\) التي يُؤخذ أكبر مداها (تكون \(c = 1\) هي المدى المُستَودَن العادي، بينما \(c > 1\) تُنمذج العظمى من بين \(c\) تجربة مستقلة تتشارك قيمة حرجة واحدة). تعرض الأداة احتمالي الذيلين معًا.
شرح المعادلة
عند فارق ثابت \(x\)، تمثّل \(H(x, r)\) احتمال أن يبقى مدى \(r\) متغيرات طبيعية قياسية مستقلة ومتماثلة التوزيع دون \(x\)، وتُحسب كتكامل لكثافة التوزيع الطبيعي القياسي مضروبة في \([\Phi(y) - \Phi(y - x)]\) مرفوعة إلى الأس \(r-1\). ولأخذ التباين المُقدَّر بالحسبان، يُحسب متوسط \(H(q\sqrt{u}, r)\) مقابل كثافة قياس مربع كاي/\(\nu\) للمتغير \(u\) (بـ \(\nu\) درجة حرية)، ثم تُرفع النتيجة إلى الأس \(c\). والمعادلة الكاملة هي:
$$F(q;r,\nu) = \int_{0}^{\infty} \frac{\nu^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)\,2^{\nu/2-1}}\, u^{\nu-1} e^{-\nu u^2/2}\,\big[H(qu,\,r)\big]^{c}\,du$$وعندما تكون \(\nu\) كبيرة جدًا يصبح التباين معلومًا، فينهار القياس إلى \(u = 1\) وتصير:
$$F(q;r) = \big[\,H\big(\text{Quantile } q,\ \text{Sample size } r\big)\,\big]^{\text{Groups } c}$$مثال محلول
عند \(q = 5.673\) وr = 5 وnu = 5 وc = 1، تُرجع الحاسبة احتمالًا تراكميًا سفليًا يقارب \(0.95\)، فيكون الذيل العلوي نحو \(0.05\). وهذا يطابق القيمة الحرجة الكلاسيكية من جدول Tukey للإحصاءة \(q\) البالغة \(5.67\) تقريبًا لخمس مجموعات وخمس درجات حرية للخطأ عند مستوى دلالة \(\alpha = 0.05\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تختلف نتيجتي قليلًا عن الجدول المطبوع؟ يُحسب الاحتمال عبر التكامل العددي، وتقل الدقة عندما تكون \(r\) كبيرة و\(\nu\) صغيرة، كما تشير الطريقة المصدرية.
ما وظيفة \(c\)؟ تعطي \(c > 1\) توزيع العظمى من بين \(c\) مدى مُستَودَن مستقل، وهو مفيد عند إعادة استخدام القيمة الحرجة نفسها عبر \(c\) تجربة مستقلة.
ماذا لو كانت \(q\) صفرًا أو سالبة؟ لا يمكن أن يكون المدى سالبًا، لذا تكون \(F = 0\) ويكون الاحتمال العلوي 1.
