Что это такое
Этот калькулятор вычисляет комплексную сферическую гармонику \(Y_n^m(\theta, \phi)\) — угловую часть решений уравнения Лапласа. Сферические гармоники встречаются во всех разделах физики и прикладной математики: в квантовой механике (атомные орбитали), электродинамике, геодезии, при расчёте освещения в компьютерной графике и в сейсмологии. Инструмент выдаёт действительную часть, мнимую часть и модуль \(Y\) для заданного полярного (зенитного) угла \(\theta\) и фиксированного азимутального угла \(\phi\). Это чистая математика, и результат одинаков в любой стране.
Как пользоваться
Сначала выберите определение функции. Тип A — полностью нормированное ортонормированное соглашение Кондона — Шортли, принятое в квантовой механике (интеграл \(|Y|^2\) по сфере равен 1). Тип B — ненормированное соглашение: просто \(P_n^m(\cos\theta)\), умноженное на азимутальный фазовый множитель. Введите степень \(n\) (0, 1, 2, …), порядок \(m\) в пределах \(-n \le m \le n\), зенитный угол \(\theta\) в градусах и азимутальный угол \(\phi\) в градусах. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть действительную и мнимую части.
Разбор формулы
$$Y_n^m(\theta,\phi) = N_{n,m}\cdot P_n^m(\cos\theta)\cdot e^{i\,m\phi}$$ где \(e^{i\,m\phi} = \cos(m\phi) + i\sin(m\phi)\). Присоединённая функция Лежандра \(P_n^m\) содержит фазу Кондона — Шортли \((-1)^m\). Для типа A \(N = \sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}\cdot\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}\); для типа B \(N = 1\). Углы, введённые в градусах, перед вычислением переводятся в радианы.
Разобранный пример
Тип A, \(n = 2\), \(m = 1\), \(\theta = 30°\), \(\phi = 30°\). Тогда \(x = \cos 30° = 0{,}8660254\), \(P_2^1(x) = -\sqrt{1-x^2}\cdot 3x = -1{,}2990381\), а \(N = \sqrt{\frac{5}{4\pi}\cdot\frac{1}{6}} = 0{,}2575162\). Значит, \(N\cdot P = -0{,}3345283\). С учётом \(\cos 30° = 0{,}8660254\) и \(\sin 30° = 0{,}5\) действительная часть равна \(-0{,}2897113\), мнимая часть равна \(-0{,}1672642\), а модуль составляет \(0{,}3345283\).
Частые вопросы
Каков допустимый диапазон m? Порядок \(m\) должен быть целым числом в пределах \(-n \le m \le n\). Иначе гармоника не определена.
Почему Y обращается в ноль на полюсах? При \(\theta = 0°\) или \(180°\) величина \(\sqrt{1-x^2} = 0\), поэтому \(P_n^m = 0\) для любого \(m \ne 0\); конечным остаётся только случай \(m = 0\).
Какое соглашение о знаках используется? Фаза Кондона — Шортли \((-1)^m\) учтена — это соответствует стандартному соглашению, принятому в физике.
