Что такое сферический конденсатор?
Сферический конденсатор образован двумя концентрическими проводящими сферами — внутренней с радиусом a и внешней с радиусом b, между которыми находится вакуум или диэлектрик. Заряд на сферах создаёт радиальное электрическое поле в зазоре между ними, и в этом поле запасается энергия. Калькулятор находит ёмкость по двум радиусам и относительной диэлектрической проницаемости вещества.
Как пользоваться калькулятором
Введите внутренний радиус a и внешний радиус b в метрах (значение b должно быть больше a), а также относительную диэлектрическую проницаемость εr вещества, заполняющего зазор (для вакуума или воздуха возьмите 1). Результат отображается в фарадах, пикофарадах, нанофарадах и микрофарадах.
Разбор формулы
Ёмкость вычисляется по формуле $$C = 4\pi\,\varepsilon_0\,\varepsilon_r \cdot \frac{a\,b}{b - a}$$ где \(\varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}\ \text{Ф/м}\) — электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума). Чем ближе сферы друг к другу (\(b \to a\)), тем меньше зазор и тем выше ёмкость. Диэлектрик (\(\varepsilon_r > 1\)) увеличивает ёмкость пропорционально своей проницаемости.
Пример расчёта
Пусть \(a = 0{,}05\ \text{м}\), \(b = 0{,}10\ \text{м}\), а зазор заполнен вакуумом (\(\varepsilon_r = 1\)): \(a\cdot b = 0{,}005\), \(b - a = 0{,}05\), откуда \(a\cdot b/(b-a) = 0{,}1\). Тогда $$C = 4\pi\cdot 8{,}854\times10^{-12}\cdot 1\cdot 0{,}1 \approx 1{,}1126\times10^{-11}\ \text{Ф} \approx 11{,}13\ \text{пФ}$$
Частые вопросы
Почему b должно быть больше a? Внешняя сфера охватывает внутреннюю; если \(b \le a\), геометрия теряет смысл и ёмкость не определена.
А если внешняя сфера уходит в бесконечность? При \(b \to \infty\) ёмкость стремится к \(C \to 4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r\,a\) — это ёмкость одиночной уединённой сферы.
Влияет ли диэлектрик на результат? Да. Заполнение зазора веществом с проницаемостью \(\varepsilon_r\) увеличивает ёмкость в \(\varepsilon_r\) раз.
