ما هو المكثف الكروي؟
يتكوّن المكثف الكروي من كرتين موصّلتين متحدتي المركز، إحداهما داخلية بنصف قطر \(a\) والأخرى خارجية بنصف قطر \(b\)، يفصل بينهما الفراغ أو مادة عازلة. وعند وضع شحنة على الكرتين ينشأ بينهما مجال كهربائي قطري يخزّن الطاقة. تحسب هذه الأداة قيمة السعة اعتمادًا على نصفي القطرين وثابت السماحية النسبية للمادة العازلة.
طريقة الاستخدام
أدخل نصف القطر الداخلي \(a\) ونصف القطر الخارجي \(b\) بوحدة المتر (مع ضرورة أن يكون b أكبر من a)، ثم أدخل السماحية النسبية εr للمادة التي تملأ الفجوة (استخدم القيمة 1 في حالة الفراغ أو الهواء). وتظهر النتيجة بوحدات الفاراد والبيكوفاراد والنانوفاراد والميكروفاراد.
شرح المعادلة
تُحسب السعة بالعلاقة $$C = 4\pi\,\varepsilon_0\,\varepsilon_r \cdot \frac{a\,b}{b - a}$$ حيث \(\varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12}\) فاراد/متر هي سماحية الفضاء الحر. وكلما اقتربت الكرتان من بعضهما (\(b \to a\)) ضاقت الفجوة بينهما وازدادت قيمة السعة. كما أن وجود مادة عازلة (\(\varepsilon_r\) أكبر من 1) يزيد السعة بنسبة متناسبة مع قيمتها.
مثال محلول
لنفترض أن \(a = 0.05\) م و \(b = 0.10\) م في الفراغ (\(\varepsilon_r = 1\)): يكون \(a\cdot b = 0.005\)، و \(b - a = 0.05\)، ومن ثَمّ \(a\cdot b/(b-a) = 0.1\). وبالتالي $$C = 4\pi\cdot 8.854\times10^{-12}\cdot 1\cdot 0.1 \approx 1.1126\times10^{-11} \text{ فاراد} \approx 11.13 \text{ بيكوفاراد}$$
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون b أكبر من a؟ لأن الكرة الخارجية تحيط بالكرة الداخلية؛ فإذا كانت \(b \le a\) يصبح الشكل الهندسي غير صحيح وتصبح السعة غير معرّفة.
ماذا لو كانت الكرة الخارجية عند ما لا نهاية؟ عندما تؤول \(b\) إلى ما لا نهاية، تؤول \(C\) إلى \(4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r\,a\)، وهي سعة الكرة المعزولة.
هل تؤثر المادة العازلة على النتيجة؟ نعم — فملء الفجوة بمادة سماحيتها النسبية \(\varepsilon_r\) يضرب قيمة السعة في \(\varepsilon_r\).
