حاسبة تحليل LU مع المحور الجزئي للمصفوفات

أدخل الحساب

حجم المصفوفة n (عدد الصفوف = عدد الأعمدة) 2 × 2 3 × 3 4 × 4 5 × 5

المصفوفة A ‏{a_ij}

أدخل عناصر المصفوفة المربعة صفاً تلو الآخر. ويتم تجاهل الخلايا غير المستخدمة (التي تتجاوز الحجم n).

عدد الأرقام المعروضة 6 significant digits 10 significant digits 14 significant digits 18 significant digits 22 significant digits 26 significant digits 30 significant digits 34 significant digits 38 significant digits 42 significant digits 46 significant digits 50 significant digits

صيغة رياضية

Show calculation steps (1)

1. Determinant

   

   Determinant from the permutation sign and the product of U's diagonal entries.

نتائج

Determinant det(A) = sign(P) × product of U diagonal

؜-١٦

المصفوفة المثلثية السفلية L

1	0	0
0.5	1	0
-0.5	1	1

المصفوفة المثلثية العلوية U

4	-6	0
0	4	1
0	0	1

متجه تبديل الصفوف P (يبدأ الترقيم من الصفر)

P = ( 1, 0, 2 )

Because of partial pivoting, L·U equals the المصفوفة المعاد ترتيب صفوفها matrix A (reorder A's rows by P first), so P·A = L·U. A naive L·U product will not reproduce the original A unless you apply the permutation P.

الطريقة	تحليل LU بطريقة دوليتل مع المحور الجزئي (تبديل الصفوف)
حجم المصفوفة	3 × 3

ما هو تحليل LU مع المحور الجزئي؟

يقوم تحليل LU بتفكيك المصفوفة المربعة A إلى مصفوفة مثلثية سفلية L (تحمل القيمة 1 على قطرها الرئيسي) ومصفوفة مثلثية علوية U. ومع المحور الجزئي (تبديل الصفوف) نحصل أيضاً على متجه تبديل الصفوف P بحيث يتحقق \(P \cdot A = L \cdot U\). تعمل عملية المحور على نقل الصف صاحب أكبر قيمة مطلقة للعنصر المحوري إلى مكانه المناسب، مما يمنع القسمة على صفر ويحسّن الاستقرار العددي بشكل كبير. وهذا الموضوع من صميم الجبر الخطي البحت وينطبق بالطريقة نفسها في كل مكان دون اختلاف.

يحلّل التمحور الجزئي المصفوفة المبدّلة \(P \cdot A\) إلى مصفوفة مثلثية سفلية L ومصفوفة مثلثية عليا U.

كيفية استخدام الحاسبة

اختر حجم المصفوفة n (من 2 إلى 5)، ثم أدخل عناصر المصفوفة المربعة صفاً تلو الآخر، وحدّد عدد الأرقام المعنوية التي ترغب في عرضها. اضغط على زر الحساب للحصول على L و U ومتجه المحور P (يبدأ ترقيمه من الصفر) إضافة إلى المحدد. أما الخلايا التي تتجاوز الحجم المختار فيتم تجاهلها تلقائياً.

الخوارزمية

لكل عمود k، ابحث عن الصف p (حيث \(p \geq k\)) الذي يعظّم القيمة \(|M[p][k]|\)، ثم بدّله ليأخذ مكان الصف k. بعد ذلك، احسب لكل صف i أسفل k المعامل \(\text{factor} = M[i][k] / M[k][k]\) واخزنه في الجزء السفلي، ثم حدّث بقية العناصر وفق \(M[i][j] \mathrel{-}= \text{factor} \cdot M[k][j]\). وبعد الانتهاء من جميع الأعمدة، تكون L هي الجزء السفلي الصارم من M مع قطر مكوّن من الواحدات، وتكون U هي الجزء العلوي شاملاً القطر. أما المحدد فيساوي إشارة التبديل مضروبة في حاصل ضرب عناصر قطر U: $$\det(A) = \operatorname{sign}(P) \prod_{i} U_{ii}$$

اعلان

تختار كل خطوة الصف ذا أكبر قيمة مطلقة في عمود المحور وتنقله إلى الأعلى قبل الحذف أسفله.

مثال محلول

لنأخذ \(A = [[2,1,1],[4,-6,0],[-2,7,2]]\)، يكون العنصر المحوري الأول في الصف رقم 1 (لأن \(|4|\) هو الأكبر)، وبذلك يصبح P هو \((1,0,2)\). ويعطي الحذف الناتج: \(L = [[1,0,0],[0.5,1,0],[-0.5,1,1]]\) و \(U = [[4,-6,0],[0,4,1],[0,0,1]]\). ولأن هناك عملية تبديل واحدة فقط فإن الإشارة تكون \(-1\)، ومن ثم $$\det(A) = -1 \times (4 \cdot 4 \cdot 1) = -16.$$

الأسئلة الشائعة

لماذا لا يساوي حاصل \(L \cdot U\) مصفوفتي الأصلية A؟ بسبب عملية المحور، فإن \(L \cdot U\) يساوي المصفوفة A بعد إعادة ترتيب صفوفها وفق P. أعد ترتيب صفوف A حسب P أولاً، عندها سيتطابق \(L \cdot U\) معها تماماً.

ماذا لو كانت مصفوفتي شاذة (غير قابلة للعكس)؟ سيظهر صفر على قطر U ويكون المحدد مساوياً للصفر، ومع ذلك يُعرض التحليل كاملاً.

هل يبدأ ترقيم متجه المحور من الصفر؟ نعم. القيمة \(P[i]\) هي رقم الصف الأصلي من A الذي انتهى به المطاف في الصف i.