Máy Tính Phân Tích LU Với Phép Chọn Trụ Riêng Phần

Nhập phép tính

Kích thước ma trận n (số hàng = số cột) 2 x 2 3 x 3 4 x 4 5 x 5

Ma trận A {a_ij}

Nhập các phần tử của ma trận vuông theo từng hàng. Các ô không dùng đến (vượt quá kích thước n) sẽ được bỏ qua.

Số chữ số hiển thị 6 significant digits 10 significant digits 14 significant digits 18 significant digits 22 significant digits 26 significant digits 30 significant digits 34 significant digits 38 significant digits 42 significant digits 46 significant digits 50 significant digits

Công thức

Show calculation steps (1)

1. Determinant

   

   Determinant from the permutation sign and the product of U's diagonal entries.

Kết quả

Determinant det(A) = sign(P) × product of U diagonal

-16

Ma trận tam giác dưới L

1	0	0
0.5	1	0
-0.5	1	1

Ma trận tam giác trên U

4	-6	0
0	4	1
0	0	1

Vector trụ hàng P (đánh chỉ số từ 0)

P = ( 1, 0, 2 )

Because of partial pivoting, L·U equals the hoán vị hàng matrix A (reorder A's rows by P first), so P·A = L·U. A naive L·U product will not reproduce the original A unless you apply the permutation P.

Phương pháp	Phân tích LU Doolittle với phép chọn trụ riêng phần (theo hàng)
Kích thước ma trận	3 x 3

Phân tích LU với phép chọn trụ riêng phần là gì?

Phân tích LU tách một ma trận vuông A thành ma trận tam giác dưới L (với các phần tử trên đường chéo bằng 1) và ma trận tam giác trên U. Khi áp dụng phép chọn trụ riêng phần (theo hàng), ta còn thu được thêm vector hoán vị hàng P sao cho \(P \cdot A = L \cdot U\). Việc chọn trụ sẽ đổi chỗ hàng có phần tử trụ lớn nhất về đúng vị trí, nhờ đó tránh được việc chia cho 0 và cải thiện đáng kể độ ổn định số học. Đây là kiến thức đại số tuyến tính thuần túy, đúng như nhau ở mọi nơi.

Phép trụ riêng phần phân tích ma trận hoán vị P·A thành ma trận tam giác dưới L và tam giác trên U.

Cách dùng máy tính

Chọn kích thước ma trận \(n\) (từ 2 đến 5), nhập các phần tử của ma trận vuông theo từng hàng, rồi chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị. Nhấn tính toán để nhận về L, U, vector trụ P (đánh chỉ số từ 0) và định thức. Các ô vượt quá kích thước đã chọn sẽ được bỏ qua.

Thuật toán

Với mỗi cột \(k\), tìm hàng \(p\) (\(p \ge k\)) có \(|M[p][k]|\) lớn nhất, đổi nó về hàng \(k\), sau đó với mỗi hàng \(i\) nằm dưới \(k\), tính hệ số nhân \(\text{factor} = M[i][k] / M[k][k]\), lưu giá trị này vào phần tam giác dưới, rồi cập nhật các phần tử còn lại \(M[i][j] \mathrel{-}= \text{factor} \cdot M[k][j]\). Sau khi xử lý hết các cột, L chính là phần tam giác dưới ngặt của M với đường chéo bằng 1, còn U là phần tam giác trên bao gồm cả đường chéo. Định thức bằng dấu của hoán vị nhân với tích các phần tử trên đường chéo của U:

$$\det(A) = \operatorname{sign}(P) \prod_{i} U_{ii}$$

Quảng cáo

Mỗi bước chọn hàng có giá trị tuyệt đối lớn nhất trong cột trụ rồi đổi nó lên đầu trước khi khử bên dưới.

Ví dụ minh họa

Với \(A = [[2,1,1],[4,-6,0],[-2,7,2]]\), trụ đầu tiên là hàng 1 (vì \(|4|\) lớn nhất), nên P trở thành \((1,0,2)\). Quá trình khử cho ra \(L = [[1,0,0],[0.5,1,0],[-0.5,1,1]]\), \(U = [[4,-6,0],[0,4,1],[0,0,1]]\). Một lần đổi chỗ nghĩa là dấu \(-1\), do đó $$\det(A) = -1 \times (4 \cdot 4 \cdot 1) = -16.$$

Câu hỏi thường gặp

Vì sao \(L \cdot U\) không bằng ma trận A ban đầu của tôi? Do có phép chọn trụ, \(L \cdot U\) bằng ma trận A nhưng đã được sắp xếp lại các hàng theo P. Hãy sắp xếp lại các hàng của A theo P trước, khi đó \(L \cdot U\) sẽ khớp.

Nếu ma trận của tôi là suy biến thì sao? Khi đó sẽ xuất hiện số 0 trên đường chéo của U và định thức bằng 0; phép phân tích vẫn được hiển thị đầy đủ.

Vector trụ có đánh chỉ số từ 0 không? Có. \(P[i]\) là chỉ số của hàng gốc trong A mà cuối cùng nằm ở hàng \(i\).