आंशिक पिवोटिंग के साथ LU अपघटन क्या है?
LU अपघटन किसी वर्ग मैट्रिक्स A को दो भागों में बाँटता है — एक निम्न-त्रिकोणीय मैट्रिक्स L (जिसके विकर्ण पर 1 होते हैं) और एक उच्च-त्रिकोणीय मैट्रिक्स U। आंशिक (पंक्ति) पिवोटिंग के साथ हम एक पंक्ति-क्रमचय वेक्टर P भी निकालते हैं ताकि \(P \cdot A = L \cdot U\) हो। पिवोटिंग में सबसे बड़े निरपेक्ष मान वाली पंक्ति को उसकी जगह पर लाया जाता है, जिससे शून्य से विभाजन की समस्या टलती है और संख्यात्मक स्थिरता काफ़ी बेहतर हो जाती है। यह शुद्ध रैखिक बीजगणित है और हर जगह एक समान रूप से लागू होता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
मैट्रिक्स का आकार \(n\) चुनें (2 से 5 तक), अपने वर्ग मैट्रिक्स के मान पंक्ति दर पंक्ति भरें, और तय करें कि कितने सार्थक अंक दिखाने हैं। "गणना करें" दबाते ही आपको L, U, पिवोट वेक्टर P (0 से शुरू) और सारणिक मिल जाएँगे। चुने गए आकार से बाहर के सेल अनदेखे कर दिए जाते हैं।
एल्गोरिद्म
हर कॉलम k के लिए वह पंक्ति p (\(p \ge k\)) ढूँढें जो \(|M[p][k]|\) को अधिकतम करती है, उसे पंक्ति k में स्वैप करें, फिर k के नीचे की हर पंक्ति i के लिए गुणक \(\text{factor} = M[i][k] / M[k][k]\) निकालें, उसे निचले भाग में संचित करें, और बाकी मानों को \(M[i][j] \mathrel{-}= \text{factor} \cdot M[k][j]\) के अनुसार अद्यतन करें। सभी कॉलम पूरे होने पर, L वही M का कड़ाई से निचला भाग है जिसके विकर्ण पर 1 हैं और U विकर्ण समेत ऊपरी भाग है। सारणिक, क्रमचय के चिह्न और U के विकर्ण के गुणनफल के बराबर होता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लें A = [[2,1,1],[4,-6,0],[-2,7,2]]। पहला पिवोट पंक्ति 1 है (\(|4|\) सबसे बड़ा है), इसलिए P बनता है (1,0,2)। निराकरण से मिलता है L = [[1,0,0],[0.5,1,0],[-0.5,1,1]], U = [[4,-6,0],[0,4,1],[0,0,1]]। एक स्वैप का अर्थ है चिह्न -1, इसलिए $$\det(A) = -1 \times (4 \cdot 4 \cdot 1) = -16.$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मेरा \(L \cdot U\) मूल A के बराबर क्यों नहीं आता? पिवोटिंग के कारण, \(L \cdot U\) उस A के बराबर होता है जिसकी पंक्तियाँ P के अनुसार पुनर्व्यवस्थित हों। पहले A की पंक्तियों को P के अनुसार पुनः क्रमबद्ध करें, फिर \(L \cdot U\) मेल खाएगा।
अगर मेरा मैट्रिक्स एकल (singular) हो तो? तब U के विकर्ण पर शून्य आ जाता है और सारणिक 0 होता है; फिर भी फैक्टराइज़ेशन दिखाया जाता है।
क्या पिवोट वेक्टर 0 से शुरू होता है? हाँ। P[i] उस मूल पंक्ति का सूचकांक है जो अंत में पंक्ति i पर आ गई।
