Calculadora de Descomposición LU con Pivoteo Parcial

Ingresar cálculo

Tamaño de la matriz n (filas = columnas) 2 x 2 3 x 3 4 x 4 5 x 5

Matriz A {a_ij}

Introduce los elementos de la matriz cuadrada fila por fila. Las celdas no utilizadas (más allá del tamaño n) se ignoran.

Cifras a mostrar 6 significant digits 10 significant digits 14 significant digits 18 significant digits 22 significant digits 26 significant digits 30 significant digits 34 significant digits 38 significant digits 42 significant digits 46 significant digits 50 significant digits

Fórmula

Show calculation steps (1)

1. Determinant

   

   Determinant from the permutation sign and the product of U's diagonal entries.

Resultados

Determinant det(A) = sign(P) × product of U diagonal

-16

Matriz triangular inferior L

1	0	0
0.5	1	0
-0.5	1	1

Matriz triangular superior U

4	-6	0
0	4	1
0	0	1

Vector de pivoteo de filas P (base 0)

P = ( 1, 0, 2 )

Because of partial pivoting, L·U equals the matriz con filas permutadas matrix A (reorder A's rows by P first), so P·A = L·U. A naive L·U product will not reproduce the original A unless you apply the permutation P.

Método	LU de Doolittle con pivoteo parcial (por filas)
Tamaño de la matriz	3 x 3

¿Qué es la descomposición LU con pivoteo parcial?

La descomposición LU factoriza una matriz cuadrada A en una matriz triangular inferior L (con unos en su diagonal) y una matriz triangular superior U. Con el pivoteo parcial (por filas) obtenemos además un vector de permutación de filas P, de modo que \(P \cdot A = L \cdot U\). El pivoteo intercambia la fila cuyo pivote tiene mayor valor absoluto y la coloca en su sitio, lo que evita dividir entre cero y mejora notablemente la estabilidad numérica. Es álgebra lineal pura y funciona igual en cualquier parte del mundo.

El pivoteo parcial factoriza una matriz permutada P·A en una triangular inferior L y una triangular superior U.

Cómo usar la calculadora

Elige el tamaño de la matriz \(n\) (de 2 a 5), introduce los elementos de tu matriz cuadrada fila por fila y selecciona cuántas cifras significativas quieres mostrar. Pulsa calcular para obtener L, U, el vector de pivoteo P (con índice base 0) y el determinante. Las celdas que queden fuera del tamaño elegido se ignoran.

El algoritmo

Para cada columna \(k\), se busca la fila \(p\) (con \(p \ge k\)) que maximiza \(|M[p][k]|\), se intercambia con la fila \(k\) y, para cada fila \(i\) por debajo de \(k\), se calcula el multiplicador \(\text{factor} = M[i][k] / M[k][k]\), se guarda en la parte inferior y se actualizan los elementos restantes con \(M[i][j] \mathrel{-}= \text{factor} \cdot M[k][j]\). Tras recorrer todas las columnas, L es la parte estrictamente inferior de M con diagonal unitaria y U es la parte superior incluyendo la diagonal. El determinante es igual al signo de la permutación multiplicado por el producto de la diagonal de U:

$$\det(A) = \operatorname{sign}(P) \prod_{i} U_{ii}$$

Publicidad

Cada paso selecciona la fila con el mayor valor absoluto en la columna del pivote y la lleva arriba antes de eliminar por debajo.

Ejemplo resuelto

Para \(A = [[2,1,1],[4,-6,0],[-2,7,2]]\), el primer pivote es la fila 1 (\(|4|\) es el mayor), por lo que P queda \((1,0,2)\). La eliminación produce \(L = [[1,0,0],[0.5,1,0],[-0.5,1,1]]\) y \(U = [[4,-6,0],[0,4,1],[0,0,1]]\). Un único intercambio implica signo \(-1\), así que

$$\det(A) = -1 \times (4 \cdot 4 \cdot 1) = -16$$

Preguntas frecuentes

¿Por qué \(L \cdot U\) no coincide con mi matriz A original? Por el pivoteo, \(L \cdot U\) equivale a A con sus filas reordenadas según P. Reordena primero las filas de A según P y entonces \(L \cdot U\) coincidirá.

¿Qué ocurre si mi matriz es singular? Aparece un cero en la diagonal de U y el determinante vale 0; aun así, la factorización se muestra igualmente.

¿El vector de pivoteo usa índice base 0? Sí. \(P[i]\) es el índice de la fila original de A que terminó en la fila \(i\).