Calculateur de décomposition LU avec pivot partiel

Entrez le calcul

Taille de la matrice n (lignes = colonnes) 2 × 2 3 × 3 4 × 4 5 × 5

Matrice A {a_ij}

Saisissez les coefficients de la matrice carrée ligne par ligne. Les cellules inutilisées (au-delà de la taille n) sont ignorées.

Chiffres affichés 6 significant digits 10 significant digits 14 significant digits 18 significant digits 22 significant digits 26 significant digits 30 significant digits 34 significant digits 38 significant digits 42 significant digits 46 significant digits 50 significant digits

Formule

Show calculation steps (1)

1. Determinant

   

   Determinant from the permutation sign and the product of U's diagonal entries.

Résultats

Determinant det(A) = sign(P) × product of U diagonal

-16

Matrice triangulaire inférieure L

1	0	0
0.5	1	0
-0.5	1	1

Matrice triangulaire supérieure U

4	-6	0
0	4	1
0	0	1

Vecteur de pivot des lignes P (indexé à partir de 0)

P = ( 1, 0, 2 )

Because of partial pivoting, L·U equals the matrice A à lignes permutées matrix A (reorder A's rows by P first), so P·A = L·U. A naive L·U product will not reproduce the original A unless you apply the permutation P.

Méthode	Décomposition LU de Doolittle avec pivot partiel (de ligne)
Taille de la matrice	3 × 3

Qu'est-ce que la décomposition LU avec pivot partiel ?

La décomposition LU factorise une matrice carrée A en une matrice triangulaire inférieure L (avec des 1 sur sa diagonale) et une matrice triangulaire supérieure U. Avec le pivot partiel (pivot de ligne), on obtient en plus un vecteur de permutation des lignes P tel que \(P \cdot A = L \cdot U\). Le pivotage consiste à ramener la ligne dont le pivot a la plus grande valeur absolue à la bonne position : cela évite les divisions par zéro et améliore nettement la stabilité numérique. Il s'agit d'algèbre linéaire pure, dont les règles sont identiques partout dans le monde.

Le pivotage partiel factorise une matrice permutée P·A en une triangulaire inférieure L et une triangulaire supérieure U.

Comment utiliser le calculateur

Choisissez la taille n de la matrice (de 2 à 5), saisissez les coefficients de votre matrice carrée ligne par ligne, puis indiquez le nombre de chiffres significatifs à afficher. Cliquez sur « Calculer » pour obtenir L, U, le vecteur de pivot P (indexé à partir de 0) et le déterminant. Les cellules situées au-delà de la taille choisie sont ignorées.

L'algorithme

Pour chaque colonne k, on recherche la ligne p (avec \(p \ge k\)) qui maximise \(|M[p][k]|\), on l'échange avec la ligne k, puis pour chaque ligne i située sous k on calcule le multiplicateur \(\text{factor} = M[i][k] / M[k][k]\), on le stocke dans la partie inférieure et on met à jour les coefficients restants : \(M[i][j] \mathrel{-}= \text{factor} \cdot M[k][j]\). Une fois toutes les colonnes traitées, L correspond à la partie strictement inférieure de M avec une diagonale unitaire, et U à la partie supérieure diagonale comprise. Le déterminant est égal au signe de la permutation multiplié par le produit des éléments diagonaux de U :

$$\det(A) = \operatorname{sign}(P) \prod_{i} U_{ii}$$

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Chaque étape choisit la ligne ayant la plus grande valeur absolue dans la colonne du pivot et la remonte avant d'éliminer en dessous.

Exemple détaillé

Pour \(A = [[2,1,1],[4,-6,0],[-2,7,2]]\), le premier pivot est la ligne 1 (\(|4|\) est la plus grande valeur), donc P devient \((1,0,2)\). L'élimination donne \(L = [[1,0,0],[0.5,1,0],[-0.5,1,1]]\) et \(U = [[4,-6,0],[0,4,1],[0,0,1]]\). Un seul échange correspond à un signe \(-1\), d'où $$\det(A) = -1 \times (4 \cdot 4 \cdot 1) = -16.$$

FAQ

Pourquoi L·U ne redonne-t-il pas ma matrice A d'origine ? À cause du pivotage, \(L \cdot U\) est égal à A dont les lignes ont été réordonnées selon P. Réordonnez d'abord les lignes de A avec P, et \(L \cdot U\) coïncidera.

Et si ma matrice est singulière ? Un zéro apparaît sur la diagonale de U et le déterminant vaut 0 ; la factorisation est néanmoins affichée.

Le vecteur de pivot est-il indexé à partir de 0 ? Oui. \(P[i]\) est l'indice de la ligne d'origine de A qui s'est retrouvée à la position i.