LU 分解計算器（部分主元法）

輸入計算

矩陣大小 n（列數 = 欄數） 2 × 2 3 × 3 4 × 4 5 × 5

矩陣 A {a_ij}

請逐列輸入方陣的各個元素。超出大小 n 範圍而未使用的儲存格會被忽略。

顯示位數 6 significant digits 10 significant digits 14 significant digits 18 significant digits 22 significant digits 26 significant digits 30 significant digits 34 significant digits 38 significant digits 42 significant digits 46 significant digits 50 significant digits

數學公式

Show calculation steps (1)

1. Determinant

   

   Determinant from the permutation sign and the product of U's diagonal entries.

結果

Determinant det(A) = sign(P) × product of U diagonal

-16

下三角矩陣 L

1	0	0
0.5	1	0
-0.5	1	1

上三角矩陣 U

4	-6	0
0	4	1
0	0	1

列主元向量 P（從 0 開始計數）

P = ( 1, 0, 2 )

Because of partial pivoting, L·U equals the 列重新排列 matrix A (reorder A's rows by P first), so P·A = L·U. A naive L·U product will not reproduce the original A unless you apply the permutation P.

方法	採用部分主元法（列主元）的 Doolittle LU 分解
矩陣大小	3 × 3

什麼是採用部分主元法的 LU 分解？

LU 分解是把一個方陣 A 拆解成下三角矩陣 L（對角線元素皆為 1）與上三角矩陣 U。在部分主元法（即列主元法）下，我們還會額外產生一個列置換向量 P，使得 \(P \cdot A = L \cdot U\)。主元選取會把該欄中絕對值最大的列交換到主元位置，藉此避免除以零，並大幅提升數值穩定性。這是純粹的線性代數運算，在世界各地的計算方式完全相同。

部分主元法將置換矩陣 P·A 分解為下三角矩陣 L 與上三角矩陣 U。

計算器使用說明

先選擇矩陣大小 \(n\)（2 到 5），逐列輸入方陣的各個元素，再選擇要顯示的有效位數。按下計算後，即可得到 L、U、主元向量 P（從 0 開始計數）以及行列式。超出所選大小範圍的儲存格會被自動忽略。

演算法原理

針對每一欄 k，先找出讓 \(|M[p][k]|\) 最大的列 p（\(p \ge k\)），將其交換到第 k 列；接著對 k 以下的每一列 i，計算乘數 \(\text{factor} = M[i][k] / M[k][k]\)，存放在矩陣的下三角部分，並更新其餘元素 \(M[i][j] \mathrel{-}= \text{factor} \cdot M[k][j]\)。所有欄處理完畢後，L 即為 M 嚴格下三角部分加上單位對角線，U 則為包含對角線在內的上三角部分。行列式等於置換的符號乘上 U 對角線元素的乘積。

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每一步選取主元行中絕對值最大的列，將其換到最上方，再消去下方元素。

實例演算

以 \(A = [[2,1,1],[4,-6,0],[-2,7,2]]\) 為例，第一個主元落在第 1 列（\(|4|\) 最大），因此 P 變為 \((1,0,2)\)。經過消去後得到 \(L = [[1,0,0],[0.5,1,0],[-0.5,1,1]]\)、\(U = [[4,-6,0],[0,4,1],[0,0,1]]\)。由於只做了一次交換，符號為 \(-1\)，所以 $$\det(A) = -1 \times (4 \cdot 4 \cdot 1) = -16.$$

常見問題

為什麼 L·U 算出來不等於我原本的 A？ 這是因為主元交換的緣故，L·U 等於依 P 重新排列各列後的 A。只要先依 P 將 A 的列重新排序，L·U 就會吻合。

如果我的矩陣是奇異矩陣（不可逆）怎麼辦？ 此時 U 對角線上會出現 0，行列式為 0；分解結果仍會照常輸出。

主元向量是從 0 開始計數嗎？ 是的。\(P[i]\) 代表最終落在第 i 列的，原本是 A 的哪一列索引。