Kısmi Pivotlamalı LU Ayrıştırma Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Matris boyutu n (satır = sütun) 2 x 2 3 x 3 4 x 4 5 x 5

A matrisi {a_ij}

Kare matrisin elemanlarını satır satır girin. Kullanılmayan hücreler (n boyutunun ötesindekiler) dikkate alınmaz.

Görüntülenecek basamak sayısı 6 significant digits 10 significant digits 14 significant digits 18 significant digits 22 significant digits 26 significant digits 30 significant digits 34 significant digits 38 significant digits 42 significant digits 46 significant digits 50 significant digits

Formül

Show calculation steps (1)

1. Determinant

   

   Determinant from the permutation sign and the product of U's diagonal entries.

Sonuç

Determinant det(A) = sign(P) × product of U diagonal

-16

Alt üçgen matris L

1	0	0
0.5	1	0
-0.5	1	1

Üst üçgen matris U

4	-6	0
0	4	1
0	0	1

Satır pivot vektörü P (0 tabanlı)

P = ( 1, 0, 2 )

Because of partial pivoting, L·U equals the satırları yeniden sıralanmış matrix A (reorder A's rows by P first), so P·A = L·U. A naive L·U product will not reproduce the original A unless you apply the permutation P.

Yöntem	Kısmi (satır) pivotlamalı Doolittle LU
Matris boyutu	3 x 3

Kısmi Pivotlamalı LU Ayrıştırma Nedir?

LU ayrıştırması, bir A kare matrisini alt üçgen L matrisi (köşegeninde 1'ler bulunan) ile üst üçgen U matrisinin çarpımı olarak yazar. Kısmi (satır) pivotlama ile birlikte bir de P satır permütasyon vektörü üretiriz; böylece \(P \cdot A = L \cdot U\) eşitliği sağlanır. Pivotlama, en büyük mutlak değere sahip pivotu olan satırı yerine taşıyarak sıfıra bölme sorununu önler ve sayısal kararlılığı belirgin biçimde artırır. Bu, tamamen doğrusal cebir konusudur ve her yerde aynı şekilde geçerlidir.

Kısmi pivotlama, permütasyonlu P·A matrisini alt üçgensel L ve üst üçgensel U'ya ayrıştırır.

Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?

Önce n matris boyutunu (2 ile 5 arası) seçin, kare matrisinizin elemanlarını satır satır girin ve kaç anlamlı basamak görüntülenmesini istediğinizi belirleyin. Hesapla düğmesine bastığınızda L, U, P pivot vektörü (0 tabanlı) ve determinant sonuçlarını alırsınız. Seçilen boyutun ötesindeki hücreler dikkate alınmaz.

Algoritma

Her k sütunu için, \(|M[p][k]|\) değerini en büyük yapan p satırını (\(p \ge k\)) bulun, bu satırı k satırıyla yer değiştirin; ardından k'nin altındaki her i satırı için \(\text{çarpan} = M[i][k] / M[k][k]\) değerini hesaplayın, bunu alt kısımda saklayın ve kalan elemanları \(M[i][j] \mathrel{-}= \text{çarpan} \cdot M[k][j]\) kuralıyla güncelleyin. Tüm sütunlar bittikten sonra L, M'nin köşegeni 1 olan kesin alt kısmı; U ise köşegen dahil üst kısmıdır. Determinant, permütasyonun işaretiyle U'nun köşegen elemanlarının çarpımının çarpımına eşittir:

$$\det(A) = \operatorname{sign}(P) \prod_{i} U_{ii}$$

Reklam

Her adım pivot sütunundaki en büyük mutlak değerli satırı seçer ve alttakileri elemeden önce en üste taşır.

Çözümlü Örnek

\(A = [[2,1,1],[4,-6,0],[-2,7,2]]\) için ilk pivot 1. satırdır (\(|4|\) en büyüktür), dolayısıyla \(P = (1,0,2)\) olur. Eleme işlemi sonucunda \(L = [[1,0,0],[0.5,1,0],[-0.5,1,1]]\) ve \(U = [[4,-6,0],[0,4,1],[0,0,1]]\) elde edilir. Tek bir yer değiştirme yapıldığı için işaret -1'dir; böylece

$$\det(A) = -1 \times (4 \cdot 4 \cdot 1) = -16$$

bulunur.

Sıkça Sorulan Sorular

\(L \cdot U\) neden orijinal A matrisime eşit çıkmıyor? Pivotlama nedeniyle \(L \cdot U\), A'nın satırları P'ye göre yeniden sıralanmış halidir. Önce A'nın satırlarını P'ye göre yeniden dizin, ardından \(L \cdot U\) bununla örtüşür.

Matrisim tekil ise ne olur? U'nun köşegeninde bir sıfır belirir ve determinant 0 olur; ayrıştırma yine de raporlanır.

Pivot vektörü 0 tabanlı mı? Evet. \(P[i]\), A'nın i. satıra yerleşen orijinal satırının indeksidir.