Cholesky विभाजन कैलकुलेटर क्या है?
यह कैलकुलेटर किसी सममित (symmetric), धनात्मक-निश्चित (positive-definite) मैट्रिक्स A को \( A = L \cdot L^{\mathsf{T}} \) के गुणनफल में विभाजित करता है, जहाँ L एक निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स (lower triangular matrix) है और LT उसका परिवर्त (transpose) है। Cholesky विभाजन, LU विभाजन की तुलना में लगभग दोगुना कुशल होता है और इसका व्यापक उपयोग संख्यात्मक रैखिक बीजगणित (numerical linear algebra), मोंटे कार्लो सिमुलेशन, रैखिक समीकरण हल करने और न्यूनतम-वर्ग (least-squares) समस्याओं में होता है। टूल आपके मैट्रिक्स का निर्धारक (determinant) भी एक उपयोगी अतिरिक्त परिणाम के रूप में दिखाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
यहाँ केवल एक इनपुट फ़ील्ड है: इनपुट मैट्रिक्स। अपने मैट्रिक्स को दर्ज करते समय एक ही पंक्ति के मानों को अलग करने के लिए कॉमा का उपयोग करें और नई पंक्ति शुरू करने के लिए पाइप चिह्न | का।
- 2×2 का उदाहरण:
4,12|12,37 - 3×3 का उदाहरण:
4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98
कैलकुलेटर सबसे पहले जाँचता है कि आपका मैट्रिक्स सममित है या नहीं (प्रत्येक विकर्ण-बाहरी मान Aij, Aji के बराबर होना चाहिए, 1e-10 की सहनशीलता के भीतर)। यदि मैट्रिक्स सममित और धनात्मक-निश्चित है, तो यह निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स L और निर्धारक की गणना करके दिखाता है। यदि मैट्रिक्स सममित नहीं है या धनात्मक-निश्चित नहीं है, तो विभाजन संभव नहीं होगा।
सूत्र को समझें
L के प्रत्येक मान के लिए एल्गोरिदम यह गणना करता है:
$$ A = L\,L^{\mathsf{T}} $$- विकर्ण: \( L_{jj} = \sqrt{A_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{jk}^{2}} \), जहाँ \( k < j \)
- विकर्ण के नीचे: \( L_{ij} = \dfrac{1}{L_{jj}}\left(A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik}\,L_{jk}\right) \), जहाँ \( i > j \)
निर्धारक, L के विकर्ण मानों के वर्गों के गुणनफल के बराबर होता है।
$$ \det(A) = \prod_{i=1}^{n} L_{ii}^{2} $$
हल किया गया उदाहरण
3×3 मैट्रिक्स 4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98 लें। सूत्र के अनुसार गणना करने पर:
- \( L_{11} = \sqrt{4} = 2 \)
- \( L_{21} = 12 / 2 = 6 \), \( L_{22} = \sqrt{37 - 36} = 1 \)
- \( L_{31} = -16 / 2 = -8 \), \( L_{32} = (-43 - (-8)(6)) / 1 = 5 \), \( L_{33} = \sqrt{98 - 64 - 25} = 3 \)
अतः \( L = [[2,0,0],[6,1,0],[-8,5,3]] \), और निर्धारक \( = (2\cdot 1\cdot 3)^{2} = 36 \)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मेरे मैट्रिक्स का कोई परिणाम क्यों नहीं आता? मैट्रिक्स का सममित (Aij = Aji) और धनात्मक-निश्चित (सभी आइगेनमान धनात्मक) होना ज़रूरी है। यदि इनमें से कोई भी शर्त पूरी नहीं होती, तो Cholesky गुणनखंड मौजूद नहीं होता।
क्या मैट्रिक्स का वर्गाकार होना ज़रूरी है? हाँ। प्रत्येक पंक्ति में उतने ही मान होने चाहिए जितनी पंक्तियाँ हैं, और मैट्रिक्स सममित होना चाहिए।
निर्धारक की गणना कैसे होती है? यह L के विकर्ण मानों के वर्गों का गुणनफल होता है, जो मूल मैट्रिक्स A के निर्धारक के बराबर होता है।
