यह क्या है
यह कैलकुलेटर सम्मिश्र गोलीय हार्मोनिक \(Y_n^m(\theta,\phi)\) का मान निकालता है, जो लाप्लास समीकरण के हलों का कोणीय हिस्सा है। गोलीय हार्मोनिक्स भौतिकी और अनुप्रयुक्त गणित में हर ओर दिखाई देते हैं: क्वांटम यांत्रिकी (परमाणु कक्षक/ऑर्बिटल), विद्युतचुंबकत्व, भूगणित (geodesy), कंप्यूटर ग्राफिक्स में प्रकाश-गणना, और भूकंप-विज्ञान। यह उपकरण किसी चुने गए ध्रुवीय (zenith) कोण \(\theta\) और निश्चित दिगंशीय (azimuthal) कोण \(\phi\) पर \(Y\) का वास्तविक भाग, काल्पनिक भाग और परिमाण बताता है। यह विशुद्ध गणित है और हर जगह एक समान रूप से लागू होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
एक फ़ंक्शन परिभाषा चुनें। टाइप A पूर्णतः सामान्यीकृत, लंबकोणीय (orthonormal) कॉन्डन-शॉर्टली परिपाटी है जो क्वांटम यांत्रिकी में प्रयुक्त होती है (गोले पर \(|Y|^2\) का समाकलन 1 के बराबर होता है)। टाइप B असामान्यीकृत परिपाटी है, यानी केवल \(P_n^m(\cos\theta)\) गुणा दिगंशीय कलांतर (phase)। घात (degree) \(n\) दर्ज करें (0, 1, 2, ...), क्रम (order) \(m\) जिसके लिए \(-n \le m \le n\) हो, ध्रुवीय कोण \(\theta\) डिग्री में और दिगंशीय कोण \(\phi\) डिग्री में। वास्तविक और काल्पनिक भाग देखने के लिए सबमिट करें।
सूत्र की व्याख्या
$$Y_n^m(\theta,\phi) = N_{n,m}\cdot P_n^m(\cos\theta)\cdot e^{i\,m\phi}$$ जहाँ \(e^{i\,m\phi} = \cos(m\phi) + i\sin(m\phi)\)। संबद्ध लेजांद्र फ़ंक्शन (associated Legendre function) \(P_n^m\) में कॉन्डन-शॉर्टली कलांतर \((-1)^m\) शामिल रहता है। टाइप A के लिए, \(N = \sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}\cdot\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}\); टाइप B के लिए, \(N = 1\)। डिग्री में दर्ज किए गए कोण गणना से पहले रेडियन में परिवर्तित कर लिए जाते हैं।
हल किया गया उदाहरण
टाइप A, \(n = 2\), \(m = 1\), \(\theta = 30^\circ\), \(\phi = 30^\circ\)। तब \(x = \cos 30^\circ = 0.8660254\), \(P_2^1(x) = -\sqrt{1-x^2}\cdot 3x = -1.2990381\), और $$N = \sqrt{\frac{5}{4\pi}\cdot\frac{1}{6}} = 0.2575162$$ अतः \(N\cdot P = -0.3345283\)। \(\cos 30^\circ = 0.8660254\) और \(\sin 30^\circ = 0.5\) लेने पर वास्तविक भाग \(-0.2897113\) तथा काल्पनिक भाग \(-0.1672642\) आता है; परिमाण \(0.3345283\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
m का मान्य परास (range) क्या है? क्रम \(m\) एक पूर्णांक होना चाहिए जिसके लिए \(-n \le m \le n\) हो। अन्यथा हार्मोनिक अपरिभाषित रहता है।
ध्रुवों पर Y शून्य क्यों हो जाता है? \(\theta = 0^\circ\) या \(180^\circ\) पर \(\sqrt{1-x^2} = 0\) होता है, इसलिए हर \(m \ne 0\) के लिए \(P_n^m = 0\) हो जाता है; केवल \(m = 0\) ही सीमित (finite) रहता है।
कौन-सी चिह्न परिपाटी प्रयुक्त होती है? कॉन्डन-शॉर्टली कलांतर \((-1)^m\) शामिल है, जो मानक भौतिकी परिपाटी से मेल खाता है।
