Что такое квантиль F-распределения?
Квантиль F-распределения (его также называют обратной F-функцией или критическим значением) — это такое значение x, при котором функция распределения F с числами степеней свободы d1 (числитель) и d2 (знаменатель) равна выбранной вероятности. Это операция, обратная функции распределения (CDF) F-распределения, и именно это критическое значение вы находите в таблицах F при дисперсионном анализе (ANOVA), проверке общей значимости регрессии и сравнении дисперсий (тест равенства дисперсий).
Как пользоваться калькулятором
Выберите режим расчёта. Укажите Нижняя вероятность P, если ваша вероятность задана как P = Pr(F ≤ x) — например, P = 0,95 возвращает значение, ниже которого лежит 95% распределения. Выберите Верхняя вероятность Q, если у вас вероятность хвоста Q = Pr(F > x) — например, Q = 0,05 даёт привычное верхнее 5%-ное критическое значение. Введите вероятность (строго между 0 и 1), число степеней свободы числителя d1 и число степеней свободы знаменателя d2, затем нажмите «Рассчитать».
Разбор формулы
Функция распределения F записывается через регуляризованную неполную бета-функцию I: при a = d1/2, b = d2/2 и замене w = d1·x / (d1·x + d2) получаем F-CDF(x) = I_w(a, b). Чтобы обратить эту функцию, калькулятор решает уравнение I_w(a, b) = targetP относительно w методом деления отрезка пополам на интервале (0, 1), вычисляя I_w через логарифм гамма-функции по приближению Ланцоша и непрерывную дробь из «Numerical Recipes». Затем выполняется обратная подстановка: $$x = \frac{d_2 \cdot w}{d_1 \cdot (1 - w)}.$$ В режиме «верхняя вероятность» целевое значение принимает вид \(\text{targetP} = 1 - Q\).
$$F_p = \{\, x : I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}\!\left(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2}\right) = \text{P} \,\}$$Пример расчёта
При P = 0,95, d1 = 5, d2 = 10 мы ищем верхнее 5%-ное критическое значение F. При a = 2,5 и b = 5 обращение уравнения \(I_w(2{,}5, 5) = 0{,}95\) даёт \(w \approx 0{,}6245\), откуда $$x = \frac{10 \times 0{,}6245}{5 \times 0{,}3755} \approx 3{,}3258$$ — это совпадает с табличным значением \(F_{0{,}05}(5, 10) = 3{,}3258\).
Часто задаваемые вопросы
Чем отличаются P и Q? P — это накопленная вероятность нижнего хвоста вплоть до x; Q — вероятность верхнего хвоста за пределами x. Они связаны соотношением \(P = 1 - Q\).
Почему вероятность должна быть строго между 0 и 1? Вероятности 0 соответствует квантиль x = 0, а вероятности 1 — стремление x к бесконечности; ни одно из этих значений не является конечным осмысленным критическим значением.
Могут ли степени свободы быть нецелыми? Да — формулы работают для любых положительных вещественных d1 и d2, хотя в задачах ANOVA обычно используются целые числа.
