순열(nPr) 계산기란?
순열이란 서로 다른 n개의 항목 중에서 r개를 골라 순서대로 나열할 때 만들 수 있는 서로 다른 배열의 개수를 뜻합니다. 여기서 핵심은 '순서'입니다. A를 먼저 고른 뒤 B를 고르는 것과 B를 먼저 고른 뒤 A를 고르는 것은 서로 다른 경우로 셉니다. 이 계산기는 0 이상의 정수 \(n\)과 \(r\)에 대해 nPr(또는 P(n, r)로 표기) 값을 계산해 줍니다.
사용 방법
전체 항목 수인 n과, 그중에서 골라 나열할 항목 수인 r을 입력하세요. 그러면 가능한 모든 순서 배열의 개수가 계산됩니다. 두 값 모두 0 이상의 정수여야 하며, 소수는 버림 처리되고 음수는 입력할 수 없습니다.
공식 살펴보기
기본 공식은 다음과 같습니다.
$$P(\text{n}, \text{r}) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$
이 계산기는 엄청나게 큰 팩토리얼을 직접 계산하지 않기 위해, 동일한 결과를 내는 '내림 곱(falling factorial)' 방식을 사용합니다. 즉 n부터 1씩 줄여가며 연속된 정수 r개를 곱하는 것으로, \(\text{n} \times (\text{n}-1) \times \ldots \times (\text{n}-\text{r}+1)\) 형태입니다. 이렇게 하면 적당한 크기의 입력값에서 정밀도를 더 높게 유지할 수 있습니다. 다만 n이 매우 클 경우 정확한 정수값이 부동소수점이 안전하게 표현할 수 있는 범위를 넘어설 수 있어, 결과가 지나치게 크면 정수 정밀도가 손실될 수 있습니다.
계산 예시
서로 다른 10개의 항목이 있고 그중 3개를 골라 순서대로 나열한다고 해 봅시다. 이때 $$nPr = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$$ 입니다. 즉, 720가지의 서로 다른 순서 배열이 존재합니다.
자주 묻는 질문(FAQ)
r = 0일 때 nPr 값은 얼마인가요? 1입니다. 아무것도 배열하지 않는 방법은 단 하나(빈 배열)뿐이며, 이는 \(0! = 1\)이라는 약속과도 일치합니다.
r이 n보다 크면 어떻게 되나요? 결과는 0입니다. 가지고 있는 것보다 더 많은 서로 다른 항목을 고를 수는 없기 때문입니다.
nPr과 nCr(조합)은 어떻게 다른가요? 순열(nPr)은 순서를 고려한 배열의 수를 세고, 조합(nCr)은 순서를 따지지 않는 선택의 수를 셉니다. 두 값은 \(nPr = nCr \times \text{r}!\) 관계로 연결됩니다.
