लंब वृत्तीय शंकु आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

त्रिज्या (r)

ऊँचाई (h)

लंबाई की इकाई m cm mm km in ft

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (3)

1. Slant Height

   

   Slant height from radius and height

2. Lateral Surface Area

   

   Lateral (side) surface area; slant height l = sqrt(r^2 + h^2)

3. Total Surface Area

   

   Lateral surface area plus circular base area

परिणाम

आयतन (V)

37.699112

cubic units (unit³)

पार्श्व (बगल की) पृष्ठीय क्षेत्रफल (S_side)	47.12389 unit²
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (S)	75.398224 unit²
तिरछी ऊँचाई (l)	5 unit

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल एक लंब वृत्तीय शंकु के ज्यामितीय गुण निकालता है — ऐसा शंकु जिसका शीर्ष (नोक) उसके वृत्ताकार आधार के केंद्र के ठीक ऊपर होता है। केवल आधार की त्रिज्या (r) और लंबवत ऊँचाई (h) डालने पर यह आयतन, पार्श्व (बगल की) पृष्ठीय क्षेत्रफल, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और तिरछी ऊँचाई बता देता है। सभी लंबाइयाँ आपके चुने हुए एक ही इकाई में होती हैं; नतीजे उसी हिसाब से बढ़ते हैं (लंबाई, क्षेत्रफल के लिए लंबाई का वर्ग, और आयतन के लिए लंबाई का घन)।

इसका उपयोग कैसे करें

आधार की त्रिज्या और ऊँचाई दर्ज करें, लंबाई की इकाई चुनें (m, cm, mm, km, in, ft) और सबमिट करें। r और h दोनों धनात्मक (पॉज़िटिव) होने चाहिए — शून्य या ऋणात्मक मान एक ऐसी अपूर्ण आकृति बनाते हैं जो असल में शंकु ही नहीं है, इसलिए ऐसे मान स्वीकार नहीं किए जाते। आपने जो इकाई चुनी है वह दोनों इनपुट पर लागू होती है; आयतन उसी इकाई के घन में और क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में दिखाया जाता है।

सूत्रों की समझ

तिरछी ऊँचाई शीर्ष से आधार के किनारे तक की सीधी रेखा की दूरी है, जिसे पाइथागोरस प्रमेय से निकाला जाता है: $$\ell = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$$ आयतन, आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल का एक-तिहाई होता है: $$V = \frac{1}{3}\pi r^{2} h$$ पार्श्व पृष्ठ (घुमावदार बगल, जिसे खोलने पर एक त्रिज्यखंड बनता है) बराबर होता है \(\pi r \ell\) के। इसमें आधार वृत्त का क्षेत्रफल \(\pi r^{2}\) जोड़ने पर कुल पृष्ठ मिलता है: $$S = \pi r(\ell + r)$$

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शंकु के आयाम: आधार त्रिज्या r, ऊर्ध्वाधर ऊंचाई h और तिर्यक ऊंचाई \(\ell = \sqrt{r^{2}+h^{2}}\)।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए r = 3 और h = 4: तिरछी ऊँचाई $$\ell = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ आयतन $$V = \frac{1}{3}\pi(9)(4) = 12\pi \approx 37.699$$ पार्श्व क्षेत्रफल $$\pi(3)(5) = 15\pi \approx 47.124$$ आधार का क्षेत्रफल \(9\pi \approx 28.274\)। कुल पृष्ठ $$15\pi + 9\pi = 24\pi \approx 75.398$$

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या यह तिरछे (ओब्लिक) शंकु के लिए काम करता है? नहीं। ये सूत्र लंब वृत्तीय शंकु के लिए हैं, जिसमें शीर्ष आधार के ठीक केंद्र के ऊपर होता है। तिरछे शंकु में आयतन का सूत्र तो वही रहता है, पर पृष्ठीय क्षेत्रफल अलग और कहीं ज़्यादा जटिल होता है।

तिरछी ऊँचाई और ऊँचाई में क्या अंतर है? ऊँचाई (h) आधार से शीर्ष तक की लंबवत दूरी है; तिरछी ऊँचाई (l) ढलान वाली बगल के साथ-साथ नापी जाती है और हमेशा r तथा h दोनों से बड़ी होती है।

त्रिज्या और ऊँचाई धनात्मक क्यों होनी चाहिए? शून्य त्रिज्या या ऊँचाई होने पर शंकु सिकुड़कर एक रेखा या एक चपटी डिस्क बन जाता है जिसका आयतन शून्य होता है, इसलिए वह कोई वैध त्रि-आयामी शंकु नहीं रहता।