什么是三角形的外接圆？
三角形的外接圆是唯一一个同时经过三角形三个顶点的圆。它的圆心叫做外心，也就是三条边的垂直平分线的交点；它的半径则称为外接圆半径。本计算器可以直接根据三条边长，求出外接圆的半径、直径和面积，同时还会给出三角形本身的面积，以及外接圆面积与三角形面积之间的比值。
使用方法
依次输入三条边长 \(a\)、\(b\)、\(c\)，单位保持一致即可（全部用厘米、或全部用米等）。计算器会用相同的单位返回半径和直径，面积则以该单位的平方表示。三条边都必须为正数，并且要能构成一个真正的三角形：任意两边之和都要大于第三边。如果不满足，结果会被标记为无效。
公式详解
先计算半周长 \(s = (a + b + c) / 2\)。再用海伦公式求出三角形面积 $$S_t = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$ 外接圆半径可由公式 $$r = \frac{a \, b \, c}{4 S_t}$$ 得到。有了 \(r\)，便可求出直径 \(\varphi = 2r\)、外接圆面积 \(S_c = \pi r^2\)，最后得到面积比 \(S_c / S_t\)。
实例演算
以 3-4-5 直角三角形为例。半周长 \(s = 6\)，因此 $$S_t = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6.$$ 外接圆半径 $$r = \frac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = 2.5,$$ 直径为 \(5\)，外接圆面积为 \(\pi \times 2.5^2 = 19.6350\)，面积比 \(S_c / S_t = 3.2725\)。注意直径正好等于斜边 \(5\)——这正是直角三角形的一个著名性质。
常见问题
为什么我的三角形被判定为无效？要么某条边是零或负数，要么最长边大于或等于另外两边之和，这样无法构成一个闭合的三角形。
计算结果使用什么单位？与你输入边长时使用的单位一致：半径和直径沿用该单位，面积则为该单位的平方。
是否适用于所有三角形？是的——无论锐角、直角还是钝角三角形都可以，只要它是一个真正的、非退化的三角形即可。
