Что такое описанная окружность треугольника?
Описанная окружность треугольника — это единственная окружность, проходящая через все три его вершины. Её центр (центр описанной окружности) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, а радиус называют радиусом описанной окружности. Этот калькулятор вычисляет радиус, диаметр и площадь описанной окружности прямо по трём сторонам, а заодно показывает площадь самого треугольника и отношение этих двух площадей.
Как пользоваться калькулятором
Введите длины трёх сторон a, b и c в одной и той же единице измерения (все в см, все в м и т. д.). Калькулятор вернёт радиус и диаметр в той же единице, а обе площади — в этой единице в квадрате. Стороны должны быть положительными и образовывать настоящий треугольник: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Если это условие не выполнено, результат помечается как некорректный.
Формула и пояснения
Сначала находим полупериметр \(s = (a + b + c) / 2\). По формуле Герона площадь треугольника равна \(S_t = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\). Радиус описанной окружности получаем из соотношения
$$R = \frac{a \, b \, c}{4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$Зная \(r\), легко найти диаметр \(\varphi = 2r\), площадь описанной окружности \(S_c = \pi \cdot r^2\) и, наконец, отношение площадей \(S_c / S_t\).
Разбор примера
Возьмём прямоугольный треугольник со сторонами 3-4-5. Полупериметр \(s = 6\), поэтому \(S_t = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6\). Радиус описанной окружности
$$r = \frac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = 2{,}5$$диаметр равен 5, площадь описанной окружности \(\pi \times 2{,}5^2 = 19{,}6350\), а отношение \(S_c / S_t = 3{,}2725\). Обратите внимание: диаметр совпадает с гипотенузой 5 — это известное свойство прямоугольных треугольников.
Частые вопросы
Почему треугольник считается некорректным? Либо одна из сторон равна нулю или отрицательна, либо самая длинная сторона не меньше суммы двух других — из таких отрезков замкнутый треугольник не построить.
В каких единицах выводится результат? В тех же, что вы задали для сторон: радиус и диаметр — в той же единице длины, а площади — в этой единице в квадрате.
Подходит ли калькулятор для любого треугольника? Да — для остроугольного, прямоугольного или тупоугольного — при условии, что это настоящий невырожденный треугольник.
