Yıldız Şekli Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

Köşe sayısı (n)

Dış yarıçap (R)

İç yarıçap (r)

Formül

Show calculation steps (1)

1. Star Perimeter

   

   Perimeter sums all 2n edges; each edge runs from an outer point to an adjacent inner vertex.

Sonuç

Yıldız Çokgeni Alanı

146,95

birim kare

Köşe sayısı	5
Kenar uzunluğu	6,6407
Çevre	66,41

Yıldız Şekli Hesaplama Aracı nedir?

Yıldız çokgeni (bildiğimiz 5 köşeli yıldız, 6 köşeli Davud Yıldızı ve benzerleri), büyük bir çemberin üzerinde yer alan n dış köşe ile küçük bir çemberin üzerinde yer alan n iç köşeden oluşur. Büyük çemberin yarıçapı R, küçük çemberin yarıçapı ise r ile gösterilir. Bu hesaplama aracı, yalnızca üç değer girerek böyle bir yıldızın kapladığı alanı, her bir kenarın uzunluğunu ve toplam çevresini bulmanızı sağlar.

Nasıl kullanılır?

Köşe sayısı n (3 veya daha fazla), dış yarıçap R (merkezden bir köşenin ucuna olan uzaklık) ve iç yarıçap r (merkezden iki köşe arasındaki çukura olan uzaklık) değerlerini girin. Hesaplama aracı anında alanı (birim kare cinsinden), eğik bir kenarın uzunluğunu ve çevreyi verir. Unutmayın: yıldızın toplam \(2n\) kenarı vardır.

Formülün açıklaması

Yıldız, her biri R ve r kenarlarına sahip ve π/n yarım açısını kapsayan \(2n\) özdeş üçgene ayrılabilir. Bu üçgenlerden her birinin alanı \(\tfrac{1}{2}\cdot R\cdot r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\)'dir ve toplam \(2n\) tane olduğundan sade sonuca ulaşırız:

$$A = n \cdot r \cdot R \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

R yarıçapındaki bir dış köşeyi, komşu konumdaki r yarıçaplı iç köşeye (π/n açısı kadar kaydırılmış) bağlayan kenarın uzunluğu $$e = \sqrt{\left(R - r\cos\tfrac{\pi}{n}\right)^{2} + \left(r\sin\tfrac{\pi}{n}\right)^{2}}$$ olur; çevre ise \(2n\cdot e\)'dir.

Yıldızın alanı \(2n\) eş üçgene eşittir ve \(A = n\cdot r\cdot R\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\) olarak sadeleşir.

Dış yarıçapı R (uçlara kadar) ve iç yarıçapı r (iç girintilere kadar) ile tanımlanan, n uçlu bir yıldız çokgeni.

Örnek hesaplama

R = 10 ve r = 5 olan klasik 5 köşeli bir yıldız için: $$A = 5 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \sin(36°) = 250 \cdot 0{,}587785 \approx 146{,}95$$ birim kare. Kenar uzunluğu $$\sqrt{(10 - 5\cdot\cos 36°)^{2} + (5\cdot\sin 36°)^{2}} = \sqrt{(10 - 4{,}0451)^{2} + (2{,}9389)^{2}} \approx \sqrt{35{,}46 + 8{,}64} \approx 6{,}6408$$'dir; dolayısıyla çevre \(10 \cdot 6{,}6408 \approx 66{,}41\) olur.

Sıkça Sorulan Sorular

Her köşe sayısı için çalışır mı? Evet — \(n \ge 3\) olan herhangi bir değeri girebilirsiniz. \(n = 3\) girerseniz üç köşeli bir yıldız elde edersiniz.

R ve r eşit olursa ne olur? Şekil, içbükey çukurları olmayan düzgün bir \(2n\)-genine dönüşür ve alan formülü yine geçerliliğini korur.

Hangi birimleri kullanır? Tutarlı olduğu sürece herhangi bir birimi kullanabilirsiniz. R ve r santimetre cinsindense alan santimetrekare, çevre ise santimetre cinsinden çıkar.